Calcul d'une primitive

[Bleyblue]

Bonjour,

Pensez vous qu'il soit possible de calculer la primitive :


J'ai essayé par plusieurs subistutions ainsi que par partie, sans résultat.

Merci

Zazeglu
-----

[invitea77054e9]

Salut,

Sans vouloir trop m'avancer, je dirais (x^2-1)^0.5...au signe près!

[inviteab2b41c6]

Non je ne pense pas.

Essaie de faire sortir le numérateur de la racine.
Ensuite fait une intégration par partie ou un changement de variable...

[invite4793db90]

Salut,

il me semble que l'intégrande n'est pas très loin d'une fonction du type u' .f ' (u).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63ea3fef]

Ben voilà, tu regardes d'abord le domaine de définition : il faut x^2 - 1 strictement positif -> x dans D= ]-00, -1[ U ]1,+00[; ensuite tu poses u=x^2-1 -> du = 2xdx avec x^2=u+1 -> x = rac(u+1).

u+1 étant positif car x est dans D.

donc : dx=du/2rac(u+1) -> I = intégrale(rac(u+1)/rac(u).du/2rac(u+1)) = integrale(du/2rac(u)) = rac(u) = (x^2-1)^0.5 en effet !

[invite63ea3fef]

x^2=u+1 -> x = rac(u+1).
u+1 étant positif car x est dans D.

ATTENTION y'a une erreur dans mon truc : x^2=u+1 -> x = rac(u+1) OU x = -rac(u+1).

Y'a un pblème de signe mais à mon avis si on dérive rac(x^2 - 1) on tombe bien sur l'intégrande et si on dérive -rac(x^2 - 1) pas ...

[invitea8961440]

Bonjour,

Pensez vous qu'il soit possible de calculer la primitive :


J'ai essayé par plusieurs subistutions ainsi que par partie, sans résultat.

Merci

Zazeglu

Il fallait voir ta fonction comme (/x/)/rac(x^2-1) et la considerer sur x>0 et sur x<0,je te signale que la primitive de f'/2*rac(f) est rac(f) !

[Bleyblue]

Il fallait voir ta fonction comme (/x/)/rac(x^2-1) et la considerer sur x>0 et sur x<0,je te signale que la primitive de f'/2*rac(f) est rac(f) !

Ben voilà, tu regardes d'abord le domaine de définition : il faut x^2 - 1 strictement positif -> x dans D= ]-00, -1[ U ]1,+00[; ensuite tu poses u=x^2-1 -> du = 2xdx avec x^2=u+1 -> x = rac(u+1).

Sans vouloir trop m'avancer, je dirais (x^2-1)^0.5...au signe près!

Maintenant que vous le dites ... je trouve ça évident ... c'est quasi une immédiate.
Je devais pas être très réveillé quand j'ai posté le message ...

Merci à tous !

Zazeglu

[Bleyblue]

Ah oui, je comprend en fait, ce n'est PAS cette primitive qui me posait problème mais bien celle ci :



Je me suis trompé en écrivant mon message.
Il me semblait bien que la première était trop simple pour que je n'y arrive pas

Donc si vous avez une idée ...

Merci

Zazeglu

[invite63ea3fef]

Ben déjà ça te simplifie le domaine de définition :

D = ]1,+oo[ ; après faut voir ...hum!

[Bleyblue]

Oui, en fait c'est une primitive sur laquel je suis tombé en essayant de calculer :


J'aurais peut être du dire ça plus tôt, au cas ou elle ne serait pas exprimable ..

Zazeglu

[invitea77054e9]

Malheureusement la primitive que tu cherches n'est pas exprimable, du moins sous forme de fonctions usuelles.

2*(-1*(2*cos(0.5*x)^2-1.)*(-1+cos(0.5*x)^2))^(1/2)*(1-*cos(0.5*x)^2)^(1/2)*(-2*cos(0.5*x)^2+1.)^(1/2)*EllipticE(cos(0.5*x),1.4142 13562)/(-2*cos(0.5*x)^4+3.*cos(0.5*x)^2-1)^(1/2)/sin(0.5*x)/(2*cos(0.5*x)^2-1)^(1/2) est la primitve de sqrt(cos(x)) si ça t'intéresse, sachant que EllipticE(z,k) est l'intégrale de 0 à z de:
sqrt(1-k^2*t^2)/sqrt(1-t^2)
Me demande pas ce que s'est, j'en sais pas plus que toi, c'est Maple qui m'a répondu ça

[invite63ea3fef]

Pourtant avec le même changement de variable que précédemment ça donne : D= ]1,+oo[ ;

u= racine(x^2-1) ; u^2=x^2-1 ;x^2=u^2+1;

x=racine(1+u^2) = (1+u^2)^0.5;

du = xdx/racine(x^2-1) = xdx/u => dx = udu/racine(1+u^2)

D'où : I = intégrale((1+u^2)^0.25/racine(1+u^2))du.

=> I = intégrale((1+u^2)^(0.25-0.5))du = intégrale(1/racine(1+u^2))du

Et ça c'est connu ... c'est arg(shu) ou arg(chu) ou quelque chose comme ça ... (ou des arc...?)

[Bleyblue]

Ah, je pensais bien que j'aurais du le dire plus tôt
En fait la primitive, c'est moi qui l'ai inventée
Je m'amuse à inventer des primitives comme ça, et j'essaie de les résoudres, évidemment elle n'est exprimable qu'une fois sur 5 ou sur 10
Quand même, depuis le temps que je m'amuse, j'ai réussit à trouver des cas très intéressant que j'ai réussit à calculer, héhéhé !

Enfin ... j'ai une question : le fait que la primitive de la racine carré de cos(x) n'est pas exprimable, cela implique je suppose que l'intégrale sur laquelle je tombe ne l'est pas non plus hein ?

Merci

Zazeglu

[Bleyblue]

Ah, nos messages se sont croisés en route criticus, je ne l'avait pas lu, je m'y met

Zazeglu

[Bleyblue]

C'est vrai ce que tu dis criticus (pas évident ton changement de variable toutefois). Je me suis peut être trompé en intégrant racine de cos(x).
Bon je file dans ma chambre je vérfiie tout ça, je m'assure que c'est juste grâce à ma TI, et puis je revient vous dire quoi

Merci

Zazeglu

[invitea77054e9]

Criticus tu t'es trompé!

"D'où : I = intégrale((1+u^2)^0.25/racine(1+u^2))du.

=> I = intégrale((1+u^2)^(0.25-0.5))du = intégrale(1/racine(1+u^2))du
"
intégrale((1+u^2)^(0.25-0.5))du = intégrale(1/(1+u^2)^0.25)du et non intégrale(1/racine(1+u^2))du
Et dans ce cas là, on ne peut calculer avec les fonctions usuelles intégrale(1/(1+u^2)^0.25)du.
Dommage!

[Bleyblue]

Je m'en suis aperçu il y a 5 minutes.
Dommage en effet, c'était une belle substitution.

Bon, ben il ne me reste plus qu'a inventer une nouvelle fonction dont je vais essayer de calculer la primitve
Racine de ln(x) peut être ...

Merci à tous !

Zazeglu

[invitea77054e9]

Essaye exp(-x^2), on va voir si tu connais !
Après je te propose exp(exp(x)), sin(exp(x)), sin(cos(x))....
Ca devrait t'occuper un bon moment

[invite63ea3fef]

J'ai l'autre si vous voulez :

Il faut cosx >=0 donc x dans [-pie/2,+pie/2] modulo 2pies. Mais attention pour intégrer il faut que ce soit continu donc il faut se restreindre à un seul intervalle, par exemple mettons [-pie/2,+pie/2].

posons u=sinx

=> du=cosxdx =rac(1-(sinx)^2)dx = rac(1-u^2)dx

=> dx = du/rac(1-u^2)

=> I = int(1-(sinx)^2)^0,25)dx
=> I = intégrale(1-u^2)^(0,25-0,5))du = intégrale(1/rac(1-u^2))du
et ça c'est connu (attention ici on intégre avec u et comme x varie entre -pie/2 et +pie/2 on a u qui varie entre -1 et +1.

) et on a finalement : I = Arg(thu) = Arg(th(sinx)).

C'est bien défini :
rappel th : [-1,+1] -> R
Voilà. Maintenant vous n'avez peut-être pas encore vu les fonctions hyperboliques et leurs inverses ...

[invite63ea3fef]

Horreur je me suis encore trompé : 0,25-0,5 = -0,25 en effet !

Bon c'est pas grave ... il va falloir que je révise mes intégrales

[Bleyblue]

Essaye exp(-x^2), on va voir si tu connais !

Celle là je sais depuis longtemps qu'elle n'est pas exprimable

exp(exp(x)), sin(exp(x)), sin(cos(x))....

Celle là je ne sais pas, mais elle ne m'ont pas l'air exprimable non plus.

J'ai l'autre si vous voulez :

Il faut cosx >=0 donc x dans [-pie/2,+pie/2] modulo 2pies. Mais attention pour intégrer il faut que ce soit continu donc il faut se restreindre à un seul intervalle, par exemple mettons [-pie/2,+pie/2].

posons u=sinx

=> du=cosxdx =rac(1-(sinx)^2)dx = rac(1-u^2)dx

=> dx = du/rac(1-u^2)

=> I = int(1-(sinx)^2)^0,25)dx
=> I = intégrale(1-u^2)^(0,25-0,5))du = intégrale(1/rac(1-u^2))du
et ça c'est connu (attention ici on intégre avec u et comme x varie entre -pie/2 et +pie/2 on a u qui varie entre -1 et +1.

) et on a finalement : I = Arg(thu) = Arg(th(sinx)).

Il s'agit de la résolution de la primitive de 1/cos(x) non ?
Je connaisait déja celle là, je sais même intégrer 1/(cos(x) ^ k) avec k entier. (idem avec sin(x) ou tan (x))
Mais cela ne correspond à aucune des primitive proposée par criticus non ?

Voilà. Maintenant vous n'avez peut-être pas encore vu les fonctions hyperboliques et leurs inverses ...

Les hyperbolique si, leurs inverses non, mais je me suis débrouillé pour apprendre en utilisant un cours de math de 1ère année d'ingénieurs dégoté je ne sais plus où ce qui m'a permis d'apprendre des tas d'autres primitives.

Bon c'est pas grave ... il va falloir que je révise mes intégrales

Mais non, juste une bête faute de calcul, pas grave du tout, je te répète que c'était une belle subsitution.

Essayez un peu ces intégrales là pour voir (moi j'y suis arrivé donc à priori vous devriez aussi) :









Bleyblue

[Bleyblue]

exp(exp(x)), sin(exp(x)) -> l'on se ramène à des primities inexprimables, (exp(u)/u et sin(u)/u).
Quant à sin(cos(x)) je ne sais pas, mais suis prêt à parier qu'elle n'est pas exprimable non plus ...

Personne pour mes primitives ?

Zazeglu

[invite63ea3fef]

Je vous signale que I1 = intégrale(SQRT(x)/SQRT(x2^- 1))dx et I2 = intégrale(SQRT(cosx))dx c'est pareil au signe près et au domaine de déf près :

Faire u = cosx dans I2 :
=> du = -sinxdx = -SQRT(1 - u2^)dx => dx = - du/SQRT(1-u2^) etc.

I1 = - I2 .

[Bleyblue]

Ben forcément vu que en partant de la première, je suis tombé sur la seconde en faisant une substituion

Zazeglu