calcul un peu lourd en complexe...

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Je vais t'avouer franchement que j'ai cherché longtemps (très longtemps) la résolution de ton problème mais je tombais le plus souvent sur des impossibilités mathématiques (genre la division par 0 !), et ce, de différentes manières...
Peut-être me suis trompé dans les calculs ??!
(Il est vrai que je n'avais fait aucunes approximations non plus !...)

Alors, suite à ses "horreurs", je me suis dit qu'il ne valait pas le coup d'envoyer un message

Mais sinon j'espère que tu trouveras la réponse que tu cherches (si ce n'est pas déjà fait) !
Bonne continuation.

Duke.
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[invitebf65f07b]

salut Duke,

merci de t'être pencher un peu sur mon problème malgré tout.

au risque de lancer des affirmations en l'air sans pouvoir les justifier, j'ai quand même l'impression que ce problème n'a pas de résolution analytique exacte, en tout cas pas à l'aide des fonctions usuelles...

[invite8915d466]

Je suis tombé sur ce fil un peu par hasard, bon courage A mon avis il n'y a pas de solution analytique, mais je pense que ce serait peut etre plus simple de considerer l'extremum de
(si je ne m'abuse). (en fait c'est l'inverse du coefficient de réflexion - 1/2).
Elles ont le même extremum mais c'est un peu plus simple a calculer comme ça.

En théorie en annulant la dérivée logarithmique par rapport à w, tu dois pouvoir en tirer une équation polynomiale en w, d'ordre assez élevée surement, puisqu'on peut exprimer et en fonction de w ....

[Duke Alchemist]

Bonjour.

J'ai une réponse analytique pour w : c'est w = w₀
où w₀ est fonction de a et b...

J'explique ma démarche :
(1) j'exprime x² sous forme trigo :
x² = [1+a²(w₀²-w²)/((w₀²-w²)²+(bw)²)] + i[-a²bw/((w₀²-w²)²+(bw)²)²]

(2) je pose x = A + iB avec A et B réels d'où
x² = (A²-B²) + 2iAB et
(2.1) (A²-B²) = [1+a²(w₀²-w²)/((w₀²-w²)²+(bw)²)]
(2.2) 2AB = [-a²bw/((w₀²-w²)²+(bw)²)²]
(ça servira pour la suite !)

(3) j'exprime |Q| en fonction de A et B :
on obtient |Q| = sqrt(1-4A/((A+1)²+B²))
on prendra garde au couple (A,B)=(-1,0) !!

(4) je détermine les extrema de |Q| en dérivant par rapport à A et en gardant B constant (il jouera le rôle d'un paramètre)
extrema pour A² = B²+1 soit pour A = +-sqrt(B²+1)
Avec un tableau de variation classique, on trouve que |Q|_max
correspond à A = -sqrt(B²+1) (l'autre valeur correspondant à un minimum)

(5) en appliquant A² = B²+1 à (2.1), j'ai l'égalité suivante :
a²(w₀²-w²)/((w₀²-w²)²+(bw)²) = 0
d'où w₀=w !!

(6) d'après le résultat de (5), (2.2) devient 2AB = (-a²/(bw₀) d'où
w₀=-a²/(2ABb)
avec A=-sqrt(B²+1)<0 et b.B>0

Complément:
On peut déterminer A(w₀) et B(w₀)
Après quelques calculs simples, on obtient :
B²=-1+-sqrt(1+(a²/bw₀)²)
B étant réel, seule la réponse B²=-1+sqrt(1+(a²/bw₀)²) est à garder et on déduit A² = B²+1 = sqrt(1+(a²/bw₀)²)

Dans le cas où a²/bw₀ << 1, on peut faire quelques petites simplifications

Bon, j'espère avoir été clair ?!
Indiquez-moi s'il y a des erreurs !

See ya.
Duke.

[Duke Alchemist]

Re-

Tout le monde aura compris, bien sûr, qu'il faut lire
[1+a²(w0²-w²)/((w0²-w²)²+(bw)²)²] pour la partie réelle de x²
ainsi que a²(w0²-w²)/((w0²-w²)²+(bw)²)² dans le (5) !

Désolé !
J'espère qu'il n'y a pas trop d'erreurs de ce style !?

Duke.

P.S. : Regardez bien ce qu'il se passe pour a²/(bw₀)<<1 on trouve B proche de 0 et A proche de 1.
Plus on se rapproche du couple (-1,0) plus |Q|_max est grand !

[invitebf65f07b]

merci duke, je regarde ça en détail, mais pour ta correction je ne suis pas d'accord, il suffit de voir ce que donne le module de chacun :

et
donc pas besoin de rajouter encore un carré

[invitebf65f07b]

ok, pour tout te dire, j'étais très inquiet quand j'ai vu que tu proposais Re(x)<0 car c'est physiquement exclu...ensuite j'ai repris tes calculs et tout va bien jusqu'au point 3. le point 4 par contre, moi je trouve A²+B²+1=0 et non comme toi -A²+B²+1=0...
tu me diras que de toute façon A et B étant réels, on ne peut pas avoir A²+B²+1=0, et je dirais oui.
ce qui m'amène à penser que c'est ta manière de trouver le maximum qui est erronée, j'entends par là que dériver |Q|(x=A+iB) selon A ne permet pas de trouver le max de |Q|(x) quand on suit .

si tu n'es pas encore découragé, je te donne une petite précision : x est une racine complexe, il y a donc 2 possibilités, on choisira toujours Re(x)>0 (solution physique) ce qui élimine d'office les soucis que tu peux rencontrer pour x=-1 (A=-1 et B=0).

[Duke Alchemist]

Re-re-bonjour !

Bon déjà... shame on me ! Corriger des erreurs qui n'existent pas... non mais où va-t-on ??!...

Euh... je ne vois pas dans mon raisonnement où je dis que Re(x)<0 ??!

Avec les résultats trouvés pour A²=sqrt(1+2a²/(bw₀)) et B²=-1+sqrt(1+2a²/(bw₀)), je trouve :
Re(x) = (1+2a²/(bw₀))^(1/4) > 0

le point 4 par contre, moi je trouve A²+B²+1=0 et non comme toi -A²+B²+1=0...

Que-trouves-tu pour la dérivée d|Q|/dA ?? (enfin pour le numérateur qui est le seul à intervenir pour le signe !)
J'ai tracé |Q| en fonction de A et B (sur calculatrice) et j'ai fixé B...

Duke.

[invitebf65f07b]

bon, je vais refaire encore mon calcul de dérivation mais sinon tu dis bien

Avec un tableau de variation classique, on trouve que |Q|max correspond à A = -sqrt(B²+1)

or A=Re(x), non?

[invitebf65f07b]

pour la dérivé, tout compte fait, je suis d'accord...

[invitebfbf094d]

(3) j'exprime |Q| en fonction de A et B :
on obtient |Q| = sqrt(1-4A/((A+1)²+B²))
on prendra garde au couple (A,B)=(-1,0) !!

Personnellement, je trouve

[invitebfbf094d]

De plus, en supposant que , je trouve que d|Q|/dA s'annule pour :

2A²-2B²-A-3=0

[invitebf65f07b]

salut zapple,

en fait duke a écrit : .
il est vrai que latex permet de lever l'ambiguité...

[Duke Alchemist]

re-re-re bonjour !

Pour continuer un peu mon "explication". J'ai fait l'étude pour B=cste puisqu'à chaque valeur de B (avec le tableau de variation) correspond 2 extrema suivant A pour |Q| (un max (en A=-sqrt(B²+1)) et un min (A=+sqrt(B²+1)) sauf pour B=0 (donc pour A=-1) où |Q|_max n'est pas défini.

Ainsi, les valeurs de A et de B pour obtenir un |Q|_max élevé doivent être proches de (-1;0) sans les atteindre !? (Vous me suivez ?)
... et les expressions de A² et de B² obtenues (voir un des post précédents) vont en ce sens il me semble...
Du coup, si on impose une valeur à B (proche de 0 si possible), on obtient une valeur pour A (qui sera proche de -1) et donc pour w₀... en fonction des paramètres a et b "imposés dans l'énoncé" !

Voilà...
Si ce n'est pas assez clair ou s'il y a une erreur (de calcul ou de raisonnement), faites moi signe !

See ya.
Duke.

P.S. : En fait, je tenais le bon filon dès le début mais j'ai complétement foiré la suite parce que j'étais convaincu que w=w₀ n'était pas la solution !!...
Remarque, qui peut dire si j'ai raison maintenant ??

[invitebf65f07b]

salut duke,

je crois que je comprends ce qui me gêne dans ton raisonnement.

Premièrement (et si ce n'est pas le cas, alors tout ce qui suit n'a effectivement pas de sens), a-t-on bien ?
Si oui alors il faut se rappeler que x est défini d'une certaine manière : , c'est à dire par l'expression de son carré. Ceci laisse une indétermination qu'il faut lever d'une manière ou d'une autre.
Ici, c'est la physique qui tranche en fixant , donc n'a de sens que pour . Que puisse être très élevé dans le demi plan complexe gauche est un fait, cela diverge même en -1. Mais pour mon problème, on est cantonner au demi plan de droite et on "bute" sur l'axe imaginaire.

je rappelle juste pour mémoire que |Q| a un sens physique, c'est le coefficient de réflexion d'un nuage de bulles. Or un coefficient de réflexion est par définition compris entre 0 et 1, sinon on viole carrément la conservation de l'énergie (à moins de supposer que ce soit le mileu qui fournisse l'énergie qui apparaît). Donc quand tu proposes de trouver , je pense que tu maximises un peu trop... . Par contre, tu peux vérifier que impose que , ce qui est un bon point pour la cohérence du modèle que j'étudie.

maintenant, je peux toujours te sortir une joli courbe matlab 3D pour que tu vois un peu mieux ce qu'il se passe que sur ta calculette...

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Bon 2 choses à rectifier !
* C'est vrai que je n'explique pas (je n'ai pas relu mon calcul !) le fait que A = -sqrt(B²+1) deviennent positif à la fin... j'ai dû buggé quelquepart... De toute façon, on ne va pas s'étendre là dessus puisque ce qui nous intéresse c'est la partie positive !!

* Alors on peut voir aussi qu'à partir de la définition de x² on peut trouver x que j'ai noté A+iB mais son opposé (-A-iB) est aussi solution, non ? (à savoir si A est positif ou négatif !!)
Mais selon moi, il n'y a, du côté des réels positifs, qu'un minimum !... Je ne trouve pas de maximum (qui devrait être |Q|_max=1)
Je pense que ma méthode devrait permettre de trouver qqch d'intéressant à condition qu'elle soit correctement "menée"...

J'y réfléchirais plus tard (peut-être )...

See ya et bonne chance !
Duke.

[invitebf65f07b]

salut duke,

voilà un petit dessin matlab rien que pour toi : dans le plan complexe. tu peux voir (et vérifier) que |Q|<1 pour les parties réeles positives et que |Q|=1 si elle est nulle.
il n'y a effectivement qu'un minimum de côté, mais n'oublie pas que l'on ne peut pas "aller" n'importe où avec x (cf x² en fct de w).

Si ça t'intéresse, je développerais ma solution, mais mon stage touchant à sa fin, il est sûr que je n'en changerais pas. d'autant plus que les résultats que j'obtiens avec son très bon (moins de 3% d'erreur!)

en tout cas merci à tous, tout ça m'a permis d'y voir un peu plus clair là dedans...