Espaces vectoriels (problème de notation)

[Lévesque]

Bonjour!

j'aurais besoin d'une petite précision concernant la notation des espaces vectoriels.

Soit X un espace vectoriel (un ensemble d'éléments pour lesquels des opérations linéaires sont définies, obéissant les règles habituelles de telles opérations).

Soit T un opérateur linéaire agissant dans l'espace vectoriel X (à un élément quelconque de X, ou à un sous-ensemble de X, T associe un autre élément de X).

Alors, on dénote l'ensemble de tous les opérateurs sur X vers X, et on dit que est un espace vectoriel avec les opérations définies précédemments, mais aussi, qu'il est plus qu'un espace vectoriel, qu'il constitue un algèbre.

Mon questionnement est le suivant:

1. Pourquoi on appelle un espace vectoriel? S'il contient des opérateurs? Est-ce que c'est parce que l'ensemble des opérateurs possède toutes les mêmes propriétés que l'espace vectoriel? Par exemple, les opération définies sont les mêmes, une base peut être définie (en terme de projecteurs par exemple), etc...?
2. Qu'est-ce qu'on veut dire par "constitue un algèbre"?
3. La notation me fait toujours penser à "B est une fonction de X". Peut-on dire qu'un espace vectoriel est fonction d'un autre (une fonction du genre... produit tensoriel)? Cela expliquerait le choix de la notation...

Merci infiniment... cette notation m'embrouille un peu (mais juste d'écrire ce message, ça s'éclaircit un peu!).


Simon
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[invite2f4d9e53]

La notation B(X) ne doit pas te déranger : il ne faut pas voir ça comme une fonction. Par exemple C⁰(R) désigne l'ensemble des fonctions continues de R.
Sinon tu peux vérifier que c'est bien un espace vectoriel (la somme de deux opérateurs linéaires est un opérateur linéaire...).
Une algèbre est une structure plus complexe qu'un espace vectoriel : il faut se munir d'une opération externe (enfin je crois). Il faudrait être plus précis dans la définition (une algèbre sur quoi et avec quelles opérations?)

[invitedef78796]

Bonjour!

Mon questionnement est le suivant:

1. Pourquoi on appelle un espace vectoriel? S'il contient des opérateurs? Est-ce que c'est parce que l'ensemble des opérateurs possède toutes les mêmes propriétés que l'espace vectoriel? Par exemple, les opération définies sont les mêmes, une base peut être définie (en terme de projecteurs par exemple), etc...?
2. Qu'est-ce qu'on veut dire par "constitue un algèbre"?
3. La notation me fait toujours penser à "B est une fonction de X". Peut-on dire qu'un espace vectoriel est fonction d'un autre (une fonction du genre... produit tensoriel)? Cela expliquerait le choix de la notation...

1. Etant donné deux opérateurs linéaires u et v tu peux définir la somme de ces deux opérateurs par (u+v)(x)=u(x)+v(x), tu vérifie alors que u+v reste linéaire. Tu définis alors la multiplication par un scalaire k : (k*u) (x) = k*u(x). Et k*u reste bien linéaire.

Avec ces deux lois, qui sont donc bien des lois de composition internes (mais attention différentes de celle mise sur l'espace de départ), tu peux vérifier que B(X) est bien un espace vectoriel de deux façons :

- à la main
- ou encore plus simple, que B(X) est un sous-espace vectoriel de l'espace des applications de X dans lui-même.

Mais méfies toi on note souvent cet espace des opérateurs linéaires sur X : L(X). Pour ne pas le confondre avec B(X) qu'on utilise plutôt pour des applications bornées.

2. En théorie on commence par définir une application linéaire entre deux espaces E et F, on se contente alors d'une structure d'espace vectoriel. Néanmoins on dispose toujours de la possibilité de composer deux applications linéaires (et la composée de deux applications linéaires est linéaire).

Dans ton cas particulier où les opérateurs sont définis sur X à valeur dans X, tu peux vérifier que o (la composition) confère à L(X) (ou B(X) comme tu le notes) une structure d'algèbre c'est à dire :

(L(X),+,.) est un espace vectoriel
(L(X),+,o) est un anneau
pour tout T,R de L(X), pour tout scalaire k :

k*(T o R) = (k*T) o R = T o (k*R) (désolé je maîtrise pas trop le tex).


Voilà en espérant que ça t'éclaire un peu

[Lévesque]

Merci!
Je pense que mes problèmes viennent surtout d'une indigestion de définitions...

Donc, L(X) est habituellement utilisé un espace d'application non-borné (||T|| infini), alors que B(X) pour un espace d'applications bornés (||T||<infini)? C'est bon à savoir!

Le seul point qui me est celui où on parle d'anneau.

Mon cerveau de physicien ne fait pas de lien...

Simon

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Merci!
Le seul point qui me est celui où on parle d'anneau.

Bonjour,

Ne t'embête pas avec cette histoire d'anneau (même si c'est parfaitement exact ).

Une algèbre est (intuitivement) un espace vectoriel, avec en plus une multiplication interne. Autrement dit, on peut additionner deux vecteurs () et multiplier un vecteur par un scalaire () -- ça c'est pour l'espace vectoriel.

Mais en plus on peut multiplier deux vecteurs () et cette opération doit être bilinéaire en et :



La composition des endomorphismes est un exemple d'une telle opération. Pour info, si est une base de l'espace, le produit doit pouvoir s'exprimer dans la même base, c'est-à-dire:

et les coefficients s'appellent les "constantes de structure" de l'algèbre.

Bien sûr, ça marche même si la dimension n'est pas finie...

-- françois