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Rotation de 4*pi



  1. #1
    fderwelt

    Rotation de 4*pi


    ------

    Bonjour,

    Voilà un problème que j'ai vu mentionné un peu partout, sans jamais d'explication claire...

    "On sait" que le groupe SO(3) n'est pas simplement connexe, et qu'il a un revêtement universel à deux feuillets. Et "donc" qu'une rotation de 2*pi n'est pas équivalente à une rotation de 4*pi. Et voilà l'exemple classiquement donné (voir image en pièce jointe): un rectangle de carton ABCD est attaché par des ficelles aux points X1/X2 d'un côté, Y1/Y2 de l'autre.

    Il paraît que, si on fait subir à ABCD une rotation de 2*pi, on ne peut plus démêler les ficelles. Et que, avec une rotation de 4*pi, on peut.

    Moi je veux bien. Mais tout le monde cite cet exemple, sans jamais exhiber la manip' effective. Et je suis tombé, un peu par hasard, sur un papier qui renvoie à un bouquin où tout est expliqué, mais il faut acheter le bouquin, qui fait environ 1000 pages, et autant de dollars sur amazon. Ca fait cher pour une simple curiosité...

    Quelqu'un aurait une idée?

    -- françois

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  4. #2
    shokin

    Re : Rotation de 4*pi

    Citation Envoyé par fderwelt
    Il paraît que, si on fait subir à ABCD une rotation de 2*pi, on ne peut plus démêler les ficelles. Et que, avec une rotation de 4*pi, on peut.
    Ah ! bon ! vraiment ? faudra que j'essaie avec des tits bouts de ficelle.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  5. #3
    fderwelt

    Re : Rotation de 4*pi

    Citation Envoyé par shokin
    Ah ! bon ! vraiment ? faudra que j'essaie avec des tits bouts de ficelle.

    Shokin
    Je l'ai fait. Sans succès. Sinon je n'aurais pas posté ici.

    Et s'il faut un bouquin de 1000 pages, c'est que ça ne doit pas être trop trivial.

    Mais c'est agaçant de voir que tout le monde cite cet exemple, manifestement sans jamais avoir essayé "en vrai"!

    -- françois

  6. #4
    nissart7831

    Re : Rotation de 4*pi

    Citation Envoyé par fderwelt
    Et s'il faut un bouquin de 1000 pages, c'est que ça ne doit pas être trop trivial.
    Bonjour,

    rassure-moi, les 1000 pages ne sont pas consacrées uniquement à démontrer ça ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    fderwelt

    Re : Rotation de 4*pi

    Citation Envoyé par nissart7831
    Bonjour,

    rassure-moi, les 1000 pages ne sont pas consacrées uniquement à démontrer ça ?
    J'espère que non... Mais je n'ai pas 1000$ à balancer juste pour voir...

    -- françois

  9. #6
    homotopie

    Re : Rotation de 4*pi

    Comment défaire les nœuds :
    Idée : tourner autour du carton pour délier les fils de chaque côté, tout en défaisant les nouveaux nœuds.
    Quand on a tourné en commençant à faisant aller X1 vers Y1 par le haut.
    1)on fait une boucle, la partie liée au carton vers le haut puis redescend, on la fait tourner autour du carton dans le sens des aiguilles d’une montre.
    Un tour entre les fils Y1 et Y2 est défait, le fil Y1 fait un tour de ceux en X1 et X2.
    2)On prend le fil en X2 on le tire vers le bas on fait une boucle on la tourne autour du carton dans le sens trigo, les parties des autres près du carton étant tirés vers le haut,
    Un tour entre les fils X1 et X2 est défait, les fil X2 et Y2 ne font plus de tour l’un avec l’autre, les fil en X2 et en Y1 désormais en font un.
    3)On prend le fil en X1, on le fait passer au-dessus du carton entre X2 et Y2, on le tire vers le bas, on fait une boucle qu’on fait tourner dans le sens trigo autour du carton.
    Le second tour entre les fils X1 et X2 est défait, le fil Y2 ne fait de tour ni avec le fil X2 ni, désormais avec le fil X1, le fil Y1 fait un tour encore avec les trois autres.
    4)on prend le fil en Y1 on le fait passer entre X2 et Y2, on le fait passer en-dessous du carton et on tire dans le sens des aiguilles d’une montre.
    Les fils sont déliés.

    PS : X1, X2, Y1, Y2 sont les A, B, C, D de la figure initiale (rédaction sans la figure sous les yeux).

    Impossible avec une rotation de 2pi : intuitivement défaire un tour de la ficelle de X1 autour de X2 implique de faire un tour autour de celle de Y1 et Y2 d'où problème de parité.
    Démo plus rigoureuse possible, on doit pouvoir trouver un invariant (simple?) en terme de tours des ficelles autour d'entre elles.
    J'arrive à "sentir" mais pas encore à exprimer le lien avec le fibré (le plus efficace pour calculer

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  11. #7
    fderwelt

    Re : Rotation de 4*pi

    Citation Envoyé par homotopie
    Comment défaire les nœuds : ...
    Merci beaucoup. J'essaye et je tiens tout le forum au courant...

    Cela dit, le bouquin en question est le Misner, Thorne & Wheeler "Gravitation", qui parle de relativité générale. En fait on peut l'avoir pour environ 120$, mais j'avais trouvé ça trop cher, d'où mon exagération...

    -- françois

  12. #8
    fderwelt

    Re : Rotation de 4*pi

    Encore merci à homotopie!

    J'ai essayé, ça marche. Enfin, un peu de problèmes au début, il faut prévoir des ficelles assez longues. Et je ne dirais pas que je saurais le refaire par cœur...

    Mais, en tout cas, chapeau pour avoir une vision aussi claire d'un truc pareil ! Parce que pour moi, la fibration en question permet juste de déduire que c'est possible, mais pas de montrer comment!

    -- françois

  13. #9
    homotopie

    Re : Rotation de 4*pi

    Citation Envoyé par fderwelt
    J'ai essayé, ça marche. Enfin, un peu de problèmes au début, il faut prévoir des ficelles assez longues. Et je ne dirais pas que je saurais le refaire par cœur...
    Alors simplifions : en fait les 4 opérations sont commutatives et peuvent donc être faites en même temps.
    on fait une boucle avec les 2 fils CY1 et DY2 et on le fait tourner dans un sens en faisant attention que cela démêle et non emmêle encore plus.
    On recommence avec les fils AX1 et BX2 on fait tourner dans l'autre sens ce qui implique de faire passer la boucle de l'autre côté du carton.
    On écarte les fils et on se rend compte que tout est démélé.
    Bref, en un seul temps pour quelqu'un qui n'est pas trop maladroit.

    Citation Envoyé par fderwelt
    Mais, en tout cas, chapeau pour avoir une vision aussi claire d'un truc pareil ! Parce que pour moi, la fibration en question permet juste de déduire que c'est possible, mais pas de montrer comment!
    J'ai dû mal m'exprimer car c'est en réfléchissant sur les "noeuds" que j'ai trouvé. Le fibré m'a convaincu que cela devait marcher et un peu, mais seulement un peu, inspiré.

    Sinon, un moyen pour bien se convaincre que c'est infaisable avec rotation de 2pi.
    On considère la boucle allant du point à l'infini défini par la droite AB ou CD, jusqu'à A, puis prend le fil AX1 (en-dessous du carton), puis X1Y1 (en-dessous du carton), puis Y1C, et retourne au point à l'infini.
    Pour ceux qui n'aiment pas l'infini on se contente de boucler très loin du "terrain des opérations".
    Ici, on supposera que l'on a tourné dans le sens X1 vers X2 par le haut.
    L'autre boucle va de B jusque X2, puis de X2 à X1 (au-dessus du carton), on colle un fil (f) au-dessus de celui allant de X1 à A, puis de A vers B.
    Le fil (f) suivra tous les mouvements à celui dont il est collé
    Si on arrivait à placer les fils comme à l'origine, après avoir détaché le fil (f) et le fil AX1, on a deux boucles séparées.
    En position d'origine, les deux boucles passent une et une seule fois l'un dans l'autre.
    Or, en laissant toutes libertés à nos boucles c'est dèjà impossible, et ici on s'est au pire handicapé (au mieux, cet handicap n'est qu'un handicap apparent).
    Ca évite de sortir la "boîte à outils" d'invariant topologique car l'enlacement des deux boucles est très simple donc prompt à convaincre sans démo en bonne et due forme.

  14. #10
    fderwelt

    Re : Rotation de 4*pi

    Re-merci.

    On dirait bien que ça marche encore... Mais j'avoue que je n'aurais jamais eu l'idée que les opérations de "démêlage" pouvaient commuter! En attendant, je m'entraîne, ça doit permettre de briller en société...

    -- françois

  15. #11
    homotopie

    Re : Rotation de 4*pi

    Citation Envoyé par fderwelt
    Re-merci.

    On dirait bien que ça marche encore... Mais j'avoue que je n'aurais jamais eu l'idée que les opérations de "démêlage" pouvaient commuter! En attendant, je m'entraîne, ça doit permettre de briller en société...

    -- françois
    Si, certains mouvements de fils commutent comme certains groupes fondamentaux sont abéliens.

    Il te reste à trouver 162 personnes à qui tu leur montres (prends la méthode en 4 temps l'autre est trop facile à reproduire).
    Pour éviter les risques, tu leur dis que comme ils sont débutants tu ne leur feras qu'un tour complet.
    Tu paries un euro. En fait, avec moins de 162 personnes tu as de quoi acheter le bouquin.

  16. #12
    fderwelt

    Re : Rotation de 4*pi

    Citation Envoyé par homotopie
    Si, certains mouvements de fils commutent comme certains groupes fondamentaux sont abéliens.

    Il te reste à trouver 162 personnes à qui tu leur montres (prends la méthode en 4 temps l'autre est trop facile à reproduire).
    Pour éviter les risques, tu leur dis que comme ils sont débutants tu ne leur feras qu'un tour complet.
    Tu paries un euro. En fait, avec moins de 162 personnes tu as de quoi acheter le bouquin.
    Qu'un groupe fondamental soit abélien, ça ne me choque absolument pas. Mais ce que je n'arrive pas à visualiser, ce sont les générateurs du groupe fondamental ; à part l'interprétation "classique" comme déformation de lacets, ça reste assez abstrait dans mon petit neurone. Et quand je pense que j'essaye de comprendre les groupes de monodromie... y'a encore du boulot.

    Cela dit, je suppose que pour choisir un pseudo pareil, tu dois avoir une bonne raison...

    Je vais essayer de trouver 162 personnes. Et un prétexte pour leur faire passer ce test idiot... Si ça me permet de compléter ma bibliothèque facilement...

    -- françois
    Dernière modification par fderwelt ; 18/02/2006 à 16h38.

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