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Exercice sur les espaces euclidiens / application orthogonale



  1. #1
    Youseph

    Exercice sur les espaces euclidiens / application orthogonale


    ------

    Bonjour,

    J'ai quelques difficultés dans un exercice.

    Voilà la consigne:

    Soit V un espace euclidien, et soit F: V-->V une application injéctive qui conserve l'angle. Montrez que sous cette condition, il existe une constante k, k différent de 0 et une application orthogonale G:V-->V, tel que F=kG


    Soit v,w appartenant à V, v,w différents de 0.

    Comme F conserve l'angle, on peut dire que:

    <v,w> / (||v|| ||w||) = <F(v),F(w)> / (||F(v)|| ||F(w)||)

    <v,w> = [(||v|| ||w||) / (||F(v)|| ||F(w)||)] (<F(v),F(w)>)

    Il faut donc montrer que [(||v|| ||w||) / (||F(v)|| ||F(w)||)] est une constante (1/k^2) pour tout v,w appartenant à V.

    Ainsi si 1/k^2=[(||v|| ||w||) / (||F(v)|| ||F(w)||)]


    <v,w> = 1/k^2 <F(v),F(w)> = <1/k F(v),1/k F(w)>= <G(v),G(w)> (G une application orthogonale, F=kG)

    Et c'est là que je suis bloqué, j'arrives pas prouver que c'est une constante

    Siq quelqun pour me donner un coup de main, ça serait le bienvenue

    Merci,

    Damien

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : Exercice sur les espaces euclidiens / application orthogonale

    Bonjour,
    d'abord se ramener à un cas simple (mais générique), v et w sont deux vecteurs unitaires orthogonaux.
    F(v) et f(w) sont deux vecteurs orthogonaux, pourquoi?
    F(v+w) et F(w-v) sont deux vecteurs orthogonaux pourquoi?
    Calculer le produit scalaire de ces deux derniers en fonction de llF(v)ll² et de llF(w)ll², en déduire qu'ils sont égaux=k².
    Cas général : montrer que tout vecteur unitaire u du sev <v,w> vérifie llF(u)ll=k.
    Géométriquement ce qui a été montré est qu'une application conservant les angles envoient un cercle sur un cercle et non une ellipse.
    Conclure.

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