Exercice sur les espaces euclidiens / application orthogonale

[invite6909706f]

Bonjour,

J'ai quelques difficultés dans un exercice.

Voilà la consigne:

Soit V un espace euclidien, et soit F: V-->V une application injéctive qui conserve l'angle. Montrez que sous cette condition, il existe une constante k, k différent de 0 et une application orthogonale G:V-->V, tel que F=kG


Soit v,w appartenant à V, v,w différents de 0.

Comme F conserve l'angle, on peut dire que:

<v,w> / (||v|| ||w||) = <F(v),F(w)> / (||F(v)|| ||F(w)||)

<v,w> = [(||v|| ||w||) / (||F(v)|| ||F(w)||)] (<F(v),F(w)>)

Il faut donc montrer que [(||v|| ||w||) / (||F(v)|| ||F(w)||)] est une constante (1/k^2) pour tout v,w appartenant à V.

Ainsi si 1/k^2=[(||v|| ||w||) / (||F(v)|| ||F(w)||)]


<v,w> = 1/k^2 <F(v),F(w)> = <1/k F(v),1/k F(w)>= <G(v),G(w)> (G une application orthogonale, F=kG)

Et c'est là que je suis bloqué, j'arrives pas prouver que c'est une constante

Siq quelqun pour me donner un coup de main, ça serait le bienvenue

Merci,

Damien
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[invite35452583]

Bonjour,
d'abord se ramener à un cas simple (mais générique), v et w sont deux vecteurs unitaires orthogonaux.
F(v) et f(w) sont deux vecteurs orthogonaux, pourquoi?
F(v+w) et F(w-v) sont deux vecteurs orthogonaux pourquoi?
Calculer le produit scalaire de ces deux derniers en fonction de llF(v)ll² et de llF(w)ll², en déduire qu'ils sont égaux=k².
Cas général : montrer que tout vecteur unitaire u du sev <v,w> vérifie llF(u)ll=k.
Géométriquement ce qui a été montré est qu'une application conservant les angles envoient un cercle sur un cercle et non une ellipse.
Conclure.