Ma première question est:
_Est ce que la mesure de Lebesgue s'emploie toujours avec la tribu des boréliens?
Ensuite j'aimerais savoir comment définir (le plus clairement possible) un espace mesurable pour la mesure de Lebesgue?
(Nous avons définit la mesure de lebesgue par:
mu([a,b[) = b-a )
Pour ce qu'on appelle communément la (ou les pour les divers Rn) mesure(s) de Lebesgue : oui (la tribu complétée de la topologie usuelle de Rn plus exactement).Envoyé par conejita
Cependant, ce ne sont pas les seules mesures possibles (pour certaines la tribu est d'ailleurs la tribu borélienne d'une topologie autre que l'usuelle sur Rn). Et M. Lebesgue a contribué aussi à l'étude générale (et peut-être des cas particuliers ?) de ces mesures.
Une définition simple et claire, je n'ai pas (autre que celle que tu as en cours mais qu'il ne semble pas te convenir) mais il y a ce critère simple : si tu sais définir une partie de Rn sans l'axiome du choix alors il est mesurable-Lebesgue.
A vrai dire dans le cour on a que très vaguement évoqué la mesure de Lebesgue et le lien avec les boréliens a été sous entendu (et encore c'est un euphémisme) mais rien de très explicite!Une définition simple et claire, je n'ai pas (autre que celle que tu as en cours mais qu'il ne semble pas te convenir
On a vu la définition d'un espace (T1,T2)_mesurable qui dit que f est (T1,T2)_mesurable ssi pour tout A appartenant à T2, l'image réciproque de A appartient à T1.
Mais en revanche nous n'avons pas de définition pour un espace mesurable pour la mesure de Lebesgue!
Un espace mesurable pour la mesure de Lebesgue est un élément de la tribu borélienne complétée. La mesure de Lebesgue sur R est l'unique mesure définie sur les boréliens tels que m(la,bl)=b-a pour tous a, b réels.
Pas facile ce théorème non par l'unicité mais sur la preuve de l'existence car si un ouvert s'écrit de manière unique comme union d'intervalle ouvert, il n'en est pas de même d'un borélien quelconque. Par exemple un borélien peut être d'intérieur vide mais être de mesure>0 (on peut même le choisr fermé). Il faut montrer par un biais ou un autre qu'il n'y a pas de contradiction dans la définition de la mesure d'un borélien selon que celui-ci est définie d'une manière ou d'une autre à partir des intervalles.
ok je vais étudier cela!
En tout cas merci de ton aide!
bonne nuit...
