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Question sur les espaces de Lebesgue



  1. #1
    conejita

    Question sur les espaces de Lebesgue


    ------

    Ma première question est:
    _Est ce que la mesure de Lebesgue s'emploie toujours avec la tribu des boréliens?

    Ensuite j'aimerais savoir comment définir (le plus clairement possible) un espace mesurable pour la mesure de Lebesgue?

    (Nous avons définit la mesure de lebesgue par:
    mu([a,b[) = b-a )

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    homotopie

    Re : Question sur les espaces de Lebesgue

    Citation Envoyé par conejita Voir le message
    Ma première question est:
    _Est ce que la mesure de Lebesgue s'emploie toujours avec la tribu des boréliens?
    Pour ce qu'on appelle communément la (ou les pour les divers Rn) mesure(s) de Lebesgue : oui (la tribu complétée de la topologie usuelle de Rn plus exactement).
    Cependant, ce ne sont pas les seules mesures possibles (pour certaines la tribu est d'ailleurs la tribu borélienne d'une topologie autre que l'usuelle sur Rn). Et M. Lebesgue a contribué aussi à l'étude générale (et peut-être des cas particuliers ?) de ces mesures.

    Citation Envoyé par conejita Voir le message
    Ensuite j'aimerais savoir comment définir (le plus clairement possible) un espace mesurable pour la mesure de Lebesgue?
    Une définition simple et claire, je n'ai pas (autre que celle que tu as en cours mais qu'il ne semble pas te convenir ) mais il y a ce critère simple : si tu sais définir une partie de Rn sans l'axiome du choix alors il est mesurable-Lebesgue.

  4. #3
    conejita

    Re : Question sur les espaces de Lebesgue

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Une définition simple et claire, je n'ai pas (autre que celle que tu as en cours mais qu'il ne semble pas te convenir )
    A vrai dire dans le cour on a que très vaguement évoqué la mesure de Lebesgue et le lien avec les boréliens a été sous entendu (et encore c'est un euphémisme) mais rien de très explicite!

    On a vu la définition d'un espace (T1,T2)_mesurable qui dit que f est (T1,T2)_mesurable ssi pour tout A appartenant à T2, l'image réciproque de A appartient à T1.

    Mais en revanche nous n'avons pas de définition pour un espace mesurable pour la mesure de Lebesgue!

  5. #4
    homotopie

    Re : Question sur les espaces de Lebesgue

    Citation Envoyé par conejita Voir le message
    Mais en revanche nous n'avons pas de définition pour un espace mesurable pour la mesure de Lebesgue!
    Un espace mesurable pour la mesure de Lebesgue est un élément de la tribu borélienne complétée. La mesure de Lebesgue sur R est l'unique mesure définie sur les boréliens tels que m(la,bl)=b-a pour tous a, b réels.
    Pas facile ce théorème non par l'unicité mais sur la preuve de l'existence car si un ouvert s'écrit de manière unique comme union d'intervalle ouvert, il n'en est pas de même d'un borélien quelconque. Par exemple un borélien peut être d'intérieur vide mais être de mesure>0 (on peut même le choisr fermé). Il faut montrer par un biais ou un autre qu'il n'y a pas de contradiction dans la définition de la mesure d'un borélien selon que celui-ci est définie d'une manière ou d'une autre à partir des intervalles.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    conejita

    Re : Question sur les espaces de Lebesgue

    ok je vais étudier cela!
    En tout cas merci de ton aide!
    bonne nuit...

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