Connexité et convexité dans R^n

[Bleyblue]

Bonjour,

Dans mon cours j'ai :

Définition : Un arc de courbe de est l'image d'une application continue
Un sous ensemble A de est connexe par arcs lorsque deux quelconques de ses points sont toujours l'extrémités d'un arc de courbe contenu dans A
Un sous ensemble A de est convexe lorsque pour tout p,q de lA : [p,q] appartient à A

Dans si je comprend bien, la seule différence entre convexe et connexe c'est que l'application f dont il est question dans la définition doit être linéaire pour que l'enemble soit convexe.

C'est bien ça ?

Donc : E convexe => E connexe mais le contraire n'est pas vrai

merci
-----

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

C'est exactement ça. La convexité signifie que tu peux toujours relier deux points par un segment qui reste dans l'ensemble. Pour l'autre, c'est juste par par un chemin continu.
Une remarque toutefois : Il faut bien préciser connexe par arcs. Tu verras bientôt certainement que l'on peut aussi définir connexe, et que, même si ces deux définitions coincident pour certaines classes d'ensemble (les ouverts), elles ne coincident pas toujours. Cf les contre exemples...

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rvz

[invite88ef51f0]

Salut,
La différence est aussi que pour la convexité, il faut non seulement que ça soit des segments mais surtout que ça marche pour tous les segments.

[Bleyblue]

C'est exactement ça. La convexité signifie que tu peux toujours relier deux points par un segment qui reste dans l'ensemble. Pour l'autre, c'est juste par par un chemin continu.
Une remarque toutefois : Il faut bien préciser connexe par arcs. Tu verras bientôt certainement que l'on peut aussi définir connexe, et que, même si ces deux définitions coincident pour certaines classes d'ensemble (les ouverts), elles ne coincident pas toujours. Cf les contre exemples...

Ok, merci bien.

La différence est aussi que pour la convexité, il faut non seulement que ça soit des segments mais surtout que ça marche pour tous les segments.

Mais il n'y a qu'un seul segment qui passe par les points p et q de R^n non ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Mais c'est pour tout p et q...

[Bleyblue]

Ah oui.
Et pour la connexité par arcs ça ne doit pas forcément être pour tous les n-uple. Il suffit d'un arc par n-uple.

merci

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Mais c'est pour tout p et q...

Et pour la connexité par arcs ça ne doit pas forcément être pour tous les n-uple. Il suffit d'un arc par n-uple.

Il y a quelque chose qui m'échappe? Connexe par arcs, c'est "il existe un arc continu inclus dans A pour tout couple (p,q)", et pour convexe c'est "le segment [pq] est inclus dans A pour tout couple (p,q)", il me semble?

Un segment c'est un cas particulier d'arc continu, mais dans les deux cas c'est pour tout couple de points quelconques de A?

-- françois

[invite88ef51f0]

Oui, au temps pour moi. J'avais oublié qu'il y avait aussi cette condition pour connexe. Mais le fait que ça soit pour tout couple de points est très important, car une surface gentille peut ne pas être convexe juste à cause de quelques méchants points mal placés.

[Bleyblue]

ah oui, j'ai eu des exemples amusants dans le cours



est connexe par arcs mais pas :



merci

[invite6de5f0ac]

ah oui, j'ai eu des exemples amusants dans le cours



est connexe par arcs mais pas :



merci

Bonsoir,

Mais... le deuxième n'est même pas connexe tout court! C'est la réunion disjointe de (R₊*)² et (R_-*)², non? Alors quoi d'étonnant?

-- françois

[Bleyblue]

Ben je n'ai pas encore reçu la définition d'un ensemble "connexe"
Uniquement celle de "connexe par arcs"

merci

[invite6de5f0ac]

Bonnsoir (ou bonne nuit).

Un espace connexe (tout court) est, comme l'intuition le dicte, un espace qui ne peut pas être coupé en deux morceaux sans y perdre son âme.

Donc, un espace X est connexe s'il ne peut pas s'exprimer comme réunion disjointe X=U+V de deux ouverts U et V non vides.

Le fait que "connexe par arcs" implique "connexe" est intuitif, mais pas évident. Trouver des contre-exemples est déjà un exercice intéressant...

Maintenant, des personnes aussi respectables que homotopie se feront un plaisir de t'expliquer comment on compte le nombre de morceaux d'un espace, etc.
Parce que les définitions négatives, ça n'est pas trop ma tasse de thé: dire qu'un espace est connexe s'il n'est pas possible de machin truc chouette, moi je préféère toujours dire (mais là je cite de mémoire), si son groupe de Poincaré n'est pas trivial. Et, d'accord, c'est encore une définition négative.

Morale: les vraies définitions sont celles où on peut toujours trouver des contre-exemples (ça s'appelle "réfutables"). Méditez ça, les gars (je compte aussi les filles dans cette expression), ça veut dire qu'on ne peut avancer qu'en remettant en cause les évidences. Et c'est aussi la porte ouverte à n'importe quoi.
Est-ce que l'ensemble (disons la théorie des catégories) des modèles physiques admet une topologie qui le rendrait connexe, et par là même autoriserait un passage continu de la Mécanique Newtonienne à la Théorie des Cordes?

Peut-être que ce smiley prendra un sens, un jour...

-- françois

P.S. - Pour Bleyblue: je ne sais pas où tu en es, mais la notion de connexité commence à poser de sérieux problèmes avec des topologies non séparées, comme la topologie de Zariski, qui est pourtant inévitable en Géométrie Algébrique... Bon courage!!!

[GuYem]

Blabla

Morale: les vraies définitions sont celles où on peut toujours trouver des contre-exemples (ça s'appelle "réfutables"). Méditez ça, les gars (je compte aussi les filles dans cette expression), ça veut dire qu'on ne peut avancer qu'en remettant en cause les évidences. Et c'est aussi la porte ouverte à n'importe quoi.
Est-ce que l'ensemble (disons la théorie des catégories) des modèles physiques admet une topologie qui le rendrait connexe, et par là même autoriserait un passage continu de la Mécanique Newtonienne à la Théorie des Cordes?

Peut-être que ce smiley prendra un sens, un jour...

-- françois

J'aime tes envolées spirituelles

[invite6de5f0ac]

J'aime tes envolées spirituelles

Bonjour,

Tu as remarqué qu'elles sont d'autant plus envolées (je n'ose même pas mentionner le côté "spirituel") que l'heure du post est tardive? Probablement une contraction des neurones due à l'écoulement du temps depuis mon réveil, en général vers 6 heurs du mat'...

Jusqu'à maintenant, je me suis fait charrier pour manque de finesse, de diplomatie, ou simplement d'à-propos, mais jamais un modo n'a jugé utile d'intervenir. La meilleure modératio, c'est finalement quand vos auditeurs vous regardent avec un air (que vous considérez comme) niais, parce que que vous dites est tout simplement incompréhensible.

Bon, chez moi, c'est une seconde nature. Non, je veux dire, c'est ma première nature, la seconde, c'est de faire des exposés très clairs et compréhensibles par tous. Mais celle-là, je la cache bien...

-- françois

[invite6de5f0ac]

J'aime tes envolées spirituelles

Bonjour,

Tu as remarqué qu'elles sont d'autant plus envolées (je n'ose même pas mentionner le côté "spirituel") que l'heure du post est tardive? Probablement une contraction des neurones due à l'écoulement du temps depuis mon réveil, en général vers 6 heures du mat'...

Jusqu'à maintenant, je me suis fait charrier pour manque de finesse, de diplomatie, ou simplement d'à-propos, mais jamais un modo n'a jugé utile d'intervenir. La meilleure modération, c'est finalement quand vos auditeurs vous regardent avec un air (que vous considérez comme) niais, parce que ce que vous dites est tout simplement incompréhensible.

Bon, chez moi, c'est une seconde nature. Non, je veux dire, c'est ma première nature, la seconde, c'est de faire des exposés très clairs et compréhensibles par tous. Mais celle-là, je la cache bien...

-- françois

[invite6de5f0ac]

OS'COURS!!

Monsieur le modo, j'ai voulu éditer mon dernier post pour corriger quelques fautes de frappe, et du coup il me dit que je dois attendre 45 secondes entre deux posts, et mon post se retrouve en double: la première version avec lrs quelques fautes de frappe, et la deuxième sans.

Ce serait possible de virer le premier, s'il vous plaît? Merci.

-- françois

[invite986312212]

La différence est aussi que pour la convexité, il faut non seulement que ça soit des segments mais surtout que ça marche pour tous les segments.

il y a aussi la notion d "ensemble étoilé" dans lequel il existe au moins un point qui peut être relié à tous les autres par un segment.

Et il existe une série de problèmes géométrico-combinatoires où on cherche par exemple le nombre minimum de points d'un certain polygone à partir desquels on peut relier tous les autres par des segments (problème dit "des gardiens de musée")

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

J'ai une question à vous poser qui à certainement à voir avec la connexité. A quel condition sur l'ouvert O puis je écrire que si divergence(u)=0, alors u est un rotationnel ? (u est une fonction de R^3 dans R^3)
Je crois me souvenir que la preuve utilise la connexité de l'ouvert, ou alors des groupes d'homotopie (genre au-delà du groupe fondamental). Existe-t-il une caractérisation simple des ouverts sur lesquels ça marche et des ouverts sur lesquels ça ne marche pas, par exemple via les groupes d'homotopie ?

__
rvz, qui se rend bien compte qu'il s'agit là d'une question très lointainement en rapport avec la question initiale

[Bleyblue]

Un espace connexe (tout court) est, comme l'intuition le dicte, un espace qui ne peut pas être coupé en deux morceaux sans y perdre son âme.

Donc, un espace X est connexe s'il ne peut pas s'exprimer comme réunion disjointe X=U+V de deux ouverts U et V non vides.

Le fait que "connexe par arcs" implique "connexe" est intuitif, mais pas évident. Trouver des contre-exemples est déjà un exercice intéressant...

Ah. Mais pour moi alors connexe ça serait synonyme de connexe par arcs.
J'ai jeté un oeil dans le fasicule des contre exemples, message 6, mais visiblement martini_bird utilise une autre définition de l'adhérence d'un ensemble que celle que je connais vu que pour moi l'adhérence de X c'est la réunion de X et de son bord.

merci

[invite6b1e2c2e]

Non. Martini utilise bien la définition standard que tu connais.

L'ensemble B= {(x,sin(1/x))} pour x dans ]0,1] est bien sûr connexe et connexe par arcs.
Cependant, l'ensemble A correspondant à son adhérence est le même ensemble auquel tu as rajouté {0}*[-1,1].
Cet ensemble est toujours connexe. En effet, une des caractérisations équivalentes de la connexité est la suivante : Pour toute fonction continue f de A dans {0,1}, f est constante. (Il est facile de montrer l'équivalence une fois remarqué que f continue équivaut à f^{-1}(ouvert2) est un ouvert1 pour tout ouvert2 de {0,1} )
Donc si tu considères f continue sur A à valeur dans {0,1}, alors f est continue sur B. Tu utilises alors la connexité de B, ce qui te donne que f est constante sur B. Comme A est l'adéhrence de B et que f est continue, tu en déduis que f est constante sur A. Donc A est connexe.
Maintenant, est ce que A est connexe par arc ? La réponse est non. Soit z1=(0,0) et z2 = (1,sin(1)) deux points de A. Imaginons qu'il existe une fonction continue de [0,1] à valeurs dans A telle que f(0) = z1, f(1) = z2.
Alors f est uniformément continue (Heine, fonction continue sur un segment). Soit epsilon < 1, et le eta correspondant à l'uniforme continuité. Alors, forcément, entre deux passages sur l'axe des abscisses, tu dois avancer au moins de eta pour "passer les bosses". Or, tu as une infinité de bosses ! Contradiction : eta *infini > 1 !
Donc A n'est pas connexe par arcs.

__
rvz

[invite6de5f0ac]

[QUOTE=rvz]J'ai une question à vous poser qui à certainement à voir avec la connexité. A quel condition sur l'ouvert O puis je écrire que si divergence(u)=0, alors u est un rotationnel?/QUOTE]

Bonsoir,

(Co)homologie de De Rham. Conditions d'intégrabilité d'une 2-forme.

Trop crevé pour donner plus de détails. Sorti d'hosto en fin d'après-midi, désolé.

-- françois

[Bleyblue]

Cependant, l'ensemble A correspondant à son adhérence est le même ensemble auquel tu as rajouté {0}*[-1,1].

Mais le bord d'un graph de R² c'est quand même le graph lui même.
Je ne vois pas d'où provient ce {0}*[-1,1] ...

merci

[invite6b1e2c2e]

Je te suggère de dessiner le graphe de ladite fonction, et tu verras que ce n'est pas vrai. C'est vrai si ta fonction est continue sur un segment, à cause du thèorème de Heine.
Un contre exemple facile : x -> 1/x sur (0,2).
__
rvz

[Bleyblue]

Ah mince alors, je n'avais pas pensé à ça.
Quoique pour le contre exemple la, quel serait le bord si ce n'est pas la courbe ?

La fonction n'est discontinue qu'en zéro et pour tout point P = (0,a), pour tout point Q du graph,je peux trouver e > 0 tel que |PQ| >= e.

merci

[invite6b1e2c2e]

Zut ! Le bord de la courbe que j'ai donnée en contre exempe est bien la courbe elle-même !

Par contre, tu reconnaîtras que le graphe n'est pas fermé (On va dire que c'était ça que je voulais nier ).

Mais si tu as compris pourquoi il faut rajouter le segment {0}*[-1,1] dans l'exemple précédent, c'est l'essentiel...

__
rvz

[Bleyblue]

Ah bon d'accord

Mais je vais essayer de trouver d'autres exemples de courbes de R² qui ne sont pas leur propre bord (si tu en as à proposer je veux bien )

merci

[invite6b1e2c2e]

Je ne sais pas de quoi c'est un exemple précisément, mais je crois que la courbe de Péano est très intéressant à ce sujet....

__
rvz

[Bleyblue]

Mais ce n'est pas dur en fait
Nimporte quelle fonction qui présente une (des) discontinuité(s) par saut, par exemple :



merci

EDIT :

mais je crois que la courbe de Péano est très intéressant à ce sujet....

Je ne connais pas mais je vais faire une recherche