Norme et convexité

[invitea07f6506]

Bonjour,

Depuis quelques temps, j'ai une petite idée qui me taraude concernant les normes dans des espaces vectoriels.
Le résultat que j'aimerais démontrer (ou infirmer) est le suivant :


Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
Soit f de E dans .
Je note, pour tout , .

On aurait alors l'équivalence entre :

f est une norme sur E.

Et :

1)
2) est l'image de par une homothétie de centre et de rapport r.
3) est centre de symétrie de
4) délimite une partie convexe de E.


Le problème vient surtout du rapport entre la sous-additivité de la norme et la proposition 4)... J'ai une piste pour démontrer 4) si f est une norme (il me reste à formaliser, et je n'y arrive pas), mais je patauge pour la réciproque.
Ou alors, cette équivalence est fausse

Quelqu'un a une idée pour démontrer ce résultat, un contre-exemple (qui permettrait éventuellement d'affiner pour trouver des CNS dans ce goût-là) ou des références ?

Merci d'avance !
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[FonKy-]

Bonjour,
as-tu déja étudié les EVN ?
la proposition 4 moi j'ai personnellement du mal a voir l'implication déja

En principe dans un EVN, f est une norme <=> elle verifie 3 propriété que tu trouvera sur wikipedia. Apres je voudrai savoir si c'est toi qui a eu l'idée de poser ses 4 conditions,pourquoi , et aussi si tu penses que les 4 liées correspondent à une CNS?

Merci, FonKy-

[invitedf667161]

Salut,

Pour moi l'implication f norme => (1,2,3,4) est claire.

Pour montrer 4, prends x et y tels que f(x) et f(y) soient plus petits que 1, l et m des scalaires positifs de somme 1. Alors
. Cela montre que les x dans E tels que f(x) <= 1 est convexe.


Par contre, pour la réciproque, j'ai aucune idée de comment démontrer l'inégalité triangulaire. Je cherche un contre exemple mais n'en vois pas non plus...

A suivre donc.

[invitea07f6506]

as-tu déja étudié les EVN ?
la proposition 4 moi j'ai personnellement du mal a voir l'implication déja

Ouaipp.
Le problème, c'est que ce problème est plus compréhensible en faisant des figures, mais en faire une, la scanner, la retoucher et l'héberger prend un peu de temps.
Disons que retrouver les trois premières propriétés à partir de la définition d'une norme est simple à première vue ; pour la convexité, il faudrait que je montre que si est non convexe, alors il existe deux éléments A et B de E tels que f(A)=f(B)=1 et (A+B)/2 soit extérieur à la partie de E délimitée par , ce qui donne f(A)+f(B)<f(A+B) si la propriété 2) est vérifiée. Si la propriété 2) n'est pas vérifiée, je pense qu'il est simple de montrer que f n'est pas une norme (ou alors, quelque chose m'a échappé). Dans tous les cas, f n'est pas une norme. Par contraposée, on obtient l'implication "si f est une norme, alors 4) est vérifiée".

Edit : merci beaucoup Guyem !

En principe dans un EVN, f est une norme <=> elle verifie 3 propriété que tu trouvera sur wikipedia. Apres je voudrai savoir si c'est toi qui a eu l'idée de poser ses 4 conditions,pourquoi , et aussi si tu penses que les 4 liées correspondent à une CNS?

Oui, c'est ma petite idée. Ca m'est venu en considérant les représentations graphiques des ensembles pour différentes normes dans : norme 2 (cercle), norme infinie (carré), norme 1 (carré), des normes inspirées de la norme 2 (ellipses), les normes r avec r compris entre 1 et l'infini (en général des trucs vaguement ovales)...
Après, c'est l'intuition
Le gros problème, c'est si on pouvait créer des fonctions f un peu bizarres, vérifiant les 4 propriétés énoncées mais n'étant pas des normes... Mais est-ce possible, ou non ?


Sinon, l'idée derrière cette équivalence serait de créer facilement des normes à partir de représentations graphiques...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

C'est bon, j'ai le morceau qui me manque dans ma démonstration (si on suppose de plus que E est un R-espace vectoriel) !

Soit f vérifiant 1), 2), 3) et 4).


Alors (I) d'après 1).



De plus, soit x dans E, x non nul. Soit un réel positif ou nul. d'où, d'après 2), , f(x) étant non nul d'après 1).
Toujours d'après le 2), d'où .

Soit un réel négatif ou nul. D'après les 2) et 3), est centre de symétrie de . Or
appartient donc à .
Donc .

Ces résultats sont triviaux pour x nul (f nulle d'après le 2)).

Donc, pour tout x dans E, pour tout réel, (II).



Soient x dans et y dans E, y non nul. Je pose r=f(y).
On vérifie que .

f(y/r)=f(y)/r=r/r=1 d'où .

Or, d'après 4), délimite une partie convexe de E : le barycentre de x et de y/r a une image par f inférieure ou égale à 1.
d'où .
Puis, grâce au (II), on a .

Ce résultat est trivial si y est nul.

Dans le cas général : si x et y sont nuls alors (trivial).
Si l'un des deux n'est pas nul, quitte à intervertir les noms, prenons x non nul.
.

Dans tous les cas, on a (III)



f vérifie donc (I), (II) et (III) : f est une norme !

[invitec5b86fa9]

il te reste a voir maintenant dans le cas où ce n'est pas une R-espace vectoriel et trouver un contre exemple... si ça marche pas.

dans le cas d'un C-espace vectoriel, ça va un peu bloqué dans II déjà parce que tu vas devoir faire le module au lieu de la valeur absolue... enfin peut être qu'on peut adapter ta démonstration

[FonKy-]

Bonjour, merci pour tes reponses, en fait en visualisant graphiquement tes propriétés il est vrai qu'on envisage de suite qu'il sagit d'une norme.

Pour montrer 4, prends x et y tels que f(x) et f(y) soient plus petits que 1, l et m des scalaires positifs de somme 1. Alors
. Cela montre que les x dans E tels que f(x) <= 1 est convexe.

okay cool ^^ mais faut se rappeler de ce qu'est la convexité , mais c bon ca à l'air d'etre ca


Sinon pour ta démo garf je la trouve plutot pas mal, mais faut pas mal réfléchir je trouve ^^ c'est bien d'avoir trouver ca , tu prépare ENS ?
Ya un petit détail qui me gène par contre pour démontrer (II)

De plus, soit x dans E, x non nul. Soit un réel positif ou nul. d'où, d'après 2), , f(x) étant non nul d'après 1).
Toujours d'après le 2), d'où .

Soit un réel négatif ou nul. D'après les 2) et 3), est centre de symétrie de . Or
appartient donc à .
Donc .

Ces résultats sont triviaux pour x nul (f nulle d'après le 2)).

Donc, pour tout x dans E, pour tout réel, (II).

Quand tu étudie le cas positif, selon ta démonstration, si on le prend négatif ca marche aussi. Certes apres tu expose sa propre démo avec le centre de symétrie, mais en fait je le trouve un peu louche, enfin je la comprend mal, surtout que tu dit:

Or

qui n'a pas de sens :/ Le
Si tu peux m'éclairer, mais le reste est bien.

Cordialement, FonKy-

[invitea07f6506]

Sinon pour ta démo garf je la trouve plutot pas mal, mais faut pas mal réfléchir je trouve ^^ c'est bien d'avoir trouver ca , tu prépare ENS ?

Je ne m'y prépare plus, je l'intègre.

Ya un petit détail qui me gène par contre pour démontrer (II)

Quand tu étudie le cas positif, selon ta démonstration, si on le prend négatif ca marche aussi.

Regarde bien le 2). Les rapports d'homothétie sont par hypothèse positifs, c'est le 3) qui permet d'avoir des rapports de tout signe. J'ai séparé en deux propositions pour que les conditions portant sur soient plus claires.
De plus, ça coince aussi si tu remarques que l'image d'un vecteur de E par f est réel positif...

Certes apres tu expose sa propre démo avec le centre de symétrie, mais en fait je le trouve un peu louche, enfin je la comprend mal, surtout que tu dit:

qui n'a pas de sens :/ Le
Si tu peux m'éclairer, mais le reste est bien.

Effectivement, un scalaire dans un espace vectoriel, ça fait tache
C'est en fait d'où . Le reste de la démo de (II) est bonne.

il te reste a voir maintenant dans le cas où ce n'est pas une R-espace vectoriel et trouver un contre exemple... si ça marche pas.

dans le cas d'un C-espace vectoriel, ça va un peu bloqué dans II déjà parce que tu vas devoir faire le module au lieu de la valeur absolue... enfin peut être qu'on peut adapter ta démonstration

En effet, c'est pour obtenir (II) que ça coince. J'ai l'impression que la propriété 3) n'est plus suffisante dans ce cas.
Allez, demain, recherche de contre-exemple et d'un analogue de ce résultat dans un C-espace vectoriel.

[FonKy-]

Regarde bien le 2). Les rapports d'homothétie sont par hypothèse positifs, c'est le 3) qui permet d'avoir des rapports de tout signe. J'ai séparé en deux propositions pour que les conditions portant sur soient plus claires.
De plus, ça coince aussi si tu remarques que l'image d'un vecteur de E par f est réel positif...



Effectivement, un scalaire dans un espace vectoriel, ça fait tache
C'est en fait d'où . Le reste de la démo de (II) est bonne.

exact

merci, FonKy-