Limites et convergence

[GalaxieA440]

Bonjour

Mes connaissances en maths de 1° S étant grandement limitées, j'aurais besoin d'un coup de main dans le calcul de la limite d'une suite.

Tout d'abord f1n) = RACINE(n)-RACINE(n+1). Avec n qui appartient à l'ensemble des naturels.
Ensuite f2n) = Acos(RACINE(n+1)/RACINE(n+2))-ACOS(RACINE(n)/RACINE(n+1)).

Avec excel j'ai étudier f1(n)/f2(n) sur 1 000 000 de lignes, et je trouve que ça converge vers 1/2. Mais je voudrais en avoir la certitude si c'est possible.
Je fais simplement varier n de 1,2,3,4.... + l'infini.

Merci de votre aide

Cordialement
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[invitec053041c]

Bonjour.

Effectivement on a une limite en "0/0", avec du cos1-cos 1 au dénominateur .
Bref, ça n'a pas l'air joyeux à enlever comme indétermination sans développement limité, si quelqu'un a une idée avec les méthodes de Terminale...

[GalaxieA440]

ouais je vois bien qu'elle a l'air pourri cette limite, mais j'ai absolument besoin de sa limite, je voudrais être sur ) 100% que ça tends vers 0.5. Donc quelque soit la méthode utilisée, même si je la comprend que dans 10 ans, n'hésitez pas en envoyer. Merci d'avance

[invitec053041c]

Si j'ai bien compris, tu cherches la limite de :



Je trouve que c'est équivalent à:
donc que ça diverge vers l'infini, mais je peux me tromper.(quoique maple me dit la même chose...).

[A voir en vidéo sur Futura]

[GalaxieA440]

Attention au dénominateur ce n'est pas cos, mais ACOS. Pour moi excel me donne une convergence vers 1/2, mais les arrondis font oscillet entre 0.50000001 et 0.499999999 vers la 1 000 000° itérations...

[GalaxieA440]

Voila c'est la limite de ça normalement...

[invitec053041c]

A c'est une constante, ou bien c'est du Arcos? Je ne comprend pas.

[invitec053041c]

Là ça devient périlleux de le faire à la main si c'est des arccos, et maple me dit que ce que tu me donnes tendrait vers +infini aussi.

[GalaxieA440]

Alors j'ai du me tromper en recopiant la formule, je ressaie - et en plus je post un doc excel qui montre la convergence vers 0,5.

Voila d'abord avec excel je créer une colone 1, 2, 3, 4, ....
Puis a coter, RACINE de 1+1, 2+1, 3+1, 4+1, ...,
ensuite je fais la différence(je l'appelle r2-r1) racine(n+2)-racine(n+1), la faute était peut être la mais je vous renvoie à mon programme pour voir ça de plus près.
Ensuite l'angle teta est caclulé par récurrence : teta + 1 = (ACOS(RACINE(n+1)/RACINE(n+2))+teta, donc teta est croissant.
Ensuite je fais la différence entre teta n+1-Teta n+2 (je l'appelle teta2-teta1)

Et enfin je calcul le quotient (r1-r2)/(teta1-teta2), et au fil des itérations je trouve que ça converge vers 0,5.
Je ne sais pas si je suis clair dans les notations, c'est pourquoi j'envoi le progr excel qui pourrait aider, la colone finale est a, qui doit converger vers 0,5.

Mercibeeaucoup de votre aide...

Cordialement

[GalaxieA440]

comme d'habitude j'ai oublié de poster la pièce jointe ... la voila...

[invitec053041c]

Alors Acos c'est arccos ?

[GalaxieA440]

oui oui Acos c'est arccos, j'ai recopié comme sur excel, désolé

[invitec053041c]

Je viens de retaper et re vérifier sur maple, et





Tend vers l'infini quand n tend vers l'infini...

[GalaxieA440]

donc c'est que j'ai fait une faute en envoyant la formule, parce que j'ai tou étudier avec excel. Attends d'avoir la pièce jointe de mon précédent message et tu pourras voir plus clairement ce que je veux dire.

[Le_Ced]

je veux pas trop m'avancer mais à mon avis, tu pourras avoir ta réponse que de manière numérique à cause des arccos qui viennent tout compliquer. Pour ma part, j'aurais quand même plus confiance en mapple qu'en excel mais bon....
En espérant que tu trouves ta réponse, moi g essayé avec mapple mais j'arrive à rien dsl

[GalaxieA440]

Alors je repost la suite (j'espère qu'elle est exprimée correctement, sinon il va falloir attendre la validation de la pièce jointe )

a = (RACINE(n+1)-RACINE(n+2))/(teta(n+1)-teta(n+2))

avec teta(n+1) = Arccos(RACINE(n+1)/RACINE(n+2))+teta(n)

Cependant j'ai trouvé sur wiki que la fonction arccosinus était strictement décroissante, pour le reste je n'ai aucune idée.

Pour le numérique, mapple je ne connais pas du tout, c'est gratuit ? Si oui je dl, sinon je me contenterai de excel, la version 2007 donne des résultats très satisfaisants (capacités de calcul accrues etc...), sans faire d'éloges ni de pub... Mais ce serait top d'arriver à démontrer mathématiquement que a converge vers 0.5

[invitec053041c]

je veux pas trop m'avancer mais à mon avis, tu pourras avoir ta réponse que de manière numérique à cause des arccos qui viennent tout compliquer.

On peut le faire analytiquement, pas forcément besoin de méthode numérique. Avec du courage, tu peux faire le DL d'arccos(sqrt(x+1)/(x+2)) en l'infini...Il faudrait d'abord dériver, puis intégrer. Bref, faisons confiance à maple.



Sinon GalaxieA440, je comprend pourquoi nos résultats ne concordaient pas...



Il n'y a qu'un seul terme au dénominateur, et là maple me dit effectivement que cela tend vers 1/2 !
Je peux t'en faire une démonstration avec les DL si tu veux, mais je ne sais pas si ça t'apportera grand chose.

Cdlt.

[GalaxieA440]

oui ça m'intéresse énormément en fait ton développement et ta démonstration, n'hésite pas à détailler un max.
EN tout cas c'est très sympa de ta part, je dirai plus tard sur ce fil ou sur un autre pourquoi j'en ai tant besoin

Cordialement ++

[invitec053041c]

En fait c'est plus hardu que ça n'en a l'air.
Il est très facile de montrer que le numérateur est équivalent à -1/(2sqrt(n))
Mais pour le dénominateur, je crains que ça ne dépasse mon niveau . Il faudrait montrer qu'il est équivalent à -1/(sqrt(n)) mais là je ne vois pas...

[GalaxieA440]

peux tu poster un rapide développement de ce que tu trouves pour le dénominateur ?

Merci bien

[invitec053041c]

je pose n=1/h pour me ramener à 0.



Ce qui signifie que:

est équivalent à :




Cdlt.

[FonKy-]

En fait c'est plus hardu que ça n'en a l'air.
Il est très facile de montrer que le numérateur est équivalent à -1/(2sqrt(n))
Mais pour le dénominateur, je crains que ça ne dépasse mon niveau . Il faudrait montrer qu'il est équivalent à -1/(sqrt(n)) mais là je ne vois pas...

Comment Lesdescat ? t'es censé savoir calculer n'importequel limite, et sache que ton prof de math n'en sais guere plus que toi, c'est pas comme les intégrales. (c'est presque une farce )

Sinon vous pouvez resumer le probleme, ce que vous chercher ? pq vous m'avez perdu la >< pour le bien de tous

FonKy-

[FonKy-]

je pose n=1/h pour me ramener à 0.



Ce qui signifie que:

est équivalent à :




Cdlt.

J'ai pas tout a fait la meme métohe mais je suis d'accord
Je vais chercher pour le dénominateur maintenant mais a vu de nez il a pas l'air gentil en effet

FonKy-

[GalaxieA440]

Pour résumer le problème : il s'agit de démontrer que a converge vers 1/2, chose que j'observe par caclul informatique, mais que je tient à démontrer. Or je ne sais pas du tout comment m'y prendre.

Maintenant le pourquoi je cherche à montrer ça, je vous promet que je vous explique dès que j'ai terminé, mais c'est plutôt sympa
Merci de l'aide en tout cas et de votre compréhension

Cordialement

Arthur

[invitec053041c]

Comment Lesdescat ? t'es censé savoir calculer n'importequel limite, et sache que ton prof de math n'en sais guere plus que toi, c'est pas comme les intégrales. (c'est presque une farce )

J'ai pas tout a fait la meme métohe mais je suis d'accord
Je vais chercher pour le dénominateur maintenant mais a vu de nez il a pas l'air gentil en effet

FonKy-

C'est même l'horreur... Même muni de maple !
Ce qu'il y a dans l'arccos tend vers 1, et je ne connais pas de méthode de duplication de arccos.
Donc la seule méthode, c'est de dériver...Suffit simplement de prendre la valuation en 0 de la dérivée pour connaître le DL de arccos(bidulechouette). Le truc c'est que la dérivée n'est pas définie en 0 (même pas de limite, rien^^).
De toutes les manières, en y réfléchissant, il ne faut pas de terme polynomial au dénominateur, mais un terme en sqrt(n). Donc là, c'est plus fort que moi .

[invitec053041c]

Sinon, c'est celle-ci ta méthode ? :



Et les 2 en dessous sont équivalents à sqrt(n) à vue de nez..leur somme aussi .
Mais jouer aux sommes et compositions avec les ~ s'avère dangereux, donc je préfère les o .

[FonKy-]

C'est quand meme bizarre, expliquez moi alors pourquoi quand je tape ca:




il répond Float() soit l'infini :/

Sinon, c'est celle-ci ta méthode ? :



Et les 2 en dessous sont équivalents à sqrt(n) à vue de nez..leur somme aussi .
Mais jouer aux sommes et compositions avec les ~ s'avère dangereux, donc je préfère les o .

Non mais je te chariais moi je pose pas le h en fait, je factorise direct comme un fou par
Par contre ici on joue pas aux sommes et compo avec les equivalents :s lol
donc ya pas trop de risques

Je vais continuer a chercher avec les arccos la

FonKy-

[GalaxieA440]

avec excel à 1millions d'itération ça saute de 0,5000000000001 à 0,499999999999999, les approximations des cos font ce genre de problème, mais je ne pense pas que ce soit possbile que la fonction tendent vers l'infini, à moins que je ne me trompe, ce qui serait embêtant pour mon problème, toutefois j'y crois à fond à cette limite à 1/2

D'accord avec moi Ledescat ?

[FonKy-]

Mais c'est pas possible moi j'ai une fonction qui est presque linéaire :s ya un truc la pour 1 million par exemple je retrouve presque la meme valeur soit une poussiere de plus que 1 million (mais avec plein de chiffres).
Je me foire completement peut etre pourtant il me semble avoir bien taper la bonne fonction comme tu peux le voir plus haut.

Sinon si ca peux aider qqun le de arccos c'est:



Ca fait rigoler ?

FonKy-

[invitec053041c]

Que du bonheur !
Faisons confiance à maple, s'il dit que la limite est 1/2, il a raison .