Convexité et Dérivée

[Deeprod]

J'ai un résultat de cours que j'aimerais bien démontré :
Une fonction (C²) est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive.

Pouvez vous me donner quelques pistes pour débuter.
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Tu peux par exemple montrer que la courbe est au dessus de ses tangentes en tout point. Tu devrais alors t'apercevoir facilement que si f" est positif, alors f est convexe.

Ensuite, pour montrer que si f est convexe, alors f" est positif, essaye de regarder (f(x+h)+ f(x-h) - 2f(x))/h^2.

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rvz

[invite35452583]

J'ai un résultat de cours que j'aimerais bien démontré :
Une fonction (C²) est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive.

Pouvez vous me donner quelques pistes pour débuter.

Ceci n'est vrai que si f est supposé deux fois dérivable.
le résultat le plus général est :
si I est un intervalle f est convexe sur I si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche partout où cela a un sens* sur I et pour tout x<y de I quand elles existent on a : f_g(x)<=f_d(x)<=f_g(y)<=f_d(y)
(* : par exemple si f est définie sur [a,b] les dérivées à drouite et à gauche existent pour tout x de ]a,b[, la dérivée à gauche de b et celle à droite de a existent)
f convexe=>
Considérer des points de la courbe comparer les pentes des cordes. Par exemple montrer que la pente allant d'un point fixe à un autre situé à droite diminue quand ce dernier tend vers ce point fixe d'où l'existence de f'_d. Même idée pour f'_g. L'inégalité f'_g<=f'_d se montre en passant à la limite une inégalité entre pente de cordes...
si f" existe alors f">=0 car f' (=f'd=f'g car f' exist et est continue puisque dérivable).
Dans l'autre sens, revoir comment le théorème des accroissemnts finis (extrema de la fonction auxiliaire f(x)-(y-a).(f(b)-f(a))/(b-a)) montrer à partir des hypothèses que l'existence d'un maximum implique qu'elle est nulle (et donc vérifie la définitionn de la convexité au sens large) sinon que la corde est en dessous (càd ce qu'il faut montrer).

[Deeprod]

Merci bien pour ces conseils, je m'y colle !

[A voir en vidéo sur Futura]