Espaces numériques

**Bleyblue** · 19/12/2005, 18h40

Bonjour,

Dites, si j'ai bien compris les espaces numériques ce sont simplement une généralisation des braves espaces $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?

Tout comme $\text{[math]}$ est un espace numérique à deux dimensions, $\text{[math]}$ est un espace numérique à n dimensions ?

Et toutes les propriétés est valables en 1,2 et 3 dimensions se généralisent en dimensions n ?

merci

invitedf667161 · 19/12/2005, 20h01

Salut.

Je n'ai jamais entendu le terme "espace numérique". Cela dit on peut croire que c'est simplement R^n avec n quelconque.

Auquel cas il faut faire attention : certaines propriétés qui ont lieu en dimension 2 ou 3 ne passent pas en dimension supérieure ou inversement.
Un exemple qui me vient à l'esprit : on peut recouvrir R^3 avec des cercles disjoints (des vrais cercles, sans l'intérieur), tandis que R^2 on ne peut pas.

Bref tout ça pour dire qu'il faut faire gaffe.

**Bleyblue** · 19/12/2005, 21h22

Ah bon.

Moi en tout cas j'ai un chapitre dans mon cours intitulé "Espaces numériques et notions de topologie" dans lequel on généralise à Rⁿ ce qu'on avait vu auparavant dans R et R² (topologie, fonctions, continuité, suites ...)

Mais tiens je viens de voir qu'ils appelent aussi ça des "espaces euclidiens". C'est peut être ce terme la qui est le plus utilisé ?

J'ai une question plus précise.
Il est écrit dans mon cours :

Un arc de courbe dans $\text{[math]}$ est l'image d'une application continue de f de [0,1] vers $\text{[math]}$ (...)

Pourquoi spécialement sur [0,1] ? Ca pourrait fort bien être définit sur ]-oo, +oo[ un arc de courbe non ?

merci !

invitea8d97425 · 19/12/2005, 21h27

On peut en effet, mais pour raison de commodité (topologiques...), on préfère travailler sur des segments [a,b], que l'on ramène à [0,1] par composition avec une application affine. Du moment que l'on a un intervalle au départ, ça marche bien.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Bleyblue** · 19/12/2005, 21h33

Ah oui.
Je vois que ça permet entre autre de définir la connexité par arcs ...

C'est amusant

merci

inviteab2b41c6 · 20/12/2005, 03h16

Envoyé par Bleyblue

Pourquoi spécialement sur [0,1] ? Ca pourrait fort bien être définit sur ]-oo, +oo[ un arc de courbe non ?

Comme ca a été dit, on peut avec tout ensemble du type [a,b] (ce que l'on appelle des segments, ou plus généralement des continus), mais avec ]-oo,+oo[ on n'aurait pas nécessairement la même chose.
La raison est que [a,b] est compact, et pas R.
A+

**Bleyblue** · 20/12/2005, 18h18

ah oui IR n'est pas compact donc ça pose problème pour certaines applications j'imagine.

merci !

invitedf667161 · 20/12/2005, 18h29

Si l'ensemble définition n'est pas compact tu n'es pas non plus sur d'avoir à faire à un arc de courbe compact.

**Bleyblue** · 20/12/2005, 19h35

Oui car l'arc de courbe pourrait être infini (ne pas avoir d'extrémités ...)

merci

invitec314d025 · 20/12/2005, 20h03

Ce ne serait plus un arc alors.

**invited5b2473a** · 21/12/2005, 13h33

A propos de connexité, voici une petite "kholle" : sauriez-vous trouver un ensemble connexe mais non connexe par arc??

**invite4793db90** · 21/12/2005, 13h53

Envoyé par indian58

A propos de connexité, voici une petite "kholle" : sauriez-vous trouver un ensemble connexe mais non connexe par arc??

Salut,

un classique: l'adhérence du graphe de la fonctions sinus.

Cordialement.

**Bleyblue** · 21/12/2005, 14h03

Moi j'ai juste eu la définition de connexe par arc.
Connexe tout court je ne connais pas

invitea8d97425 · 21/12/2005, 14h10

En gros, la connexité formalise la propriété d'être "sans trou". Plus formellement, un ensemble est connexe si les seules parties à la fois ouvertes et fermées de l'ensemble sont lui-même et l'ensemble vide.

Avec ça, tu peux démontrer des trucs du genre :

connexe par arc => connexe
connexe + ouvert => connexe par arc...

**Bleyblue** · 21/12/2005, 14h30

ah bon merci.

Envoyé par martini_bird

Salut,

un classique: l'adhérence du graphe de la fonctions sinus.

Cordialement.

Tiens mais l'adhérence c'est bien la réunion de l'intérieur de l'ensemble avec son bord ?
Or la fonction sinus est une courbe, qu'est ce que c'est que ça l'intérieur d'une courbe ? Je pensais qu'une courbe dans Rⁿ était confondue avec son propre bord moi ...

merci

**invite4793db90** · 21/12/2005, 14h36

Salut,

ici la topologie n'est pas tout à fait celle de IR^2: les ouverts sont l'intersection d'un ouvert de IR^2 et de la courbe (topologie induite).

invitedf667161 · 21/12/2005, 15h19

Envoyé par Ithilian_bzh

En gros, la connexité formalise la propriété d'être "sans trou". Plus formellement, un ensemble est connexe si les seules parties à la fois ouvertes et fermées de l'ensemble sont lui-même et l'ensemble vide.

Avec ça, tu peux démontrer des trucs du genre :

connexe par arc => connexe
connexe + ouvert => connexe par arc...

J'aurais pas dit "sans trou", mais plutôt "en un seul bout".

Le plan privé d'un disque est connexe (par arc) et pourtant il a un sacré trou.

invitea8d97425 · 21/12/2005, 18h59

Oui, le terme semble plus approprié, mais c'est ce qu'on avait dit dans le cours de maths... Merci pour cette correction.

**Bleyblue** · 22/12/2005, 19h30

Dites pourriez-vous m'aidez à trouver un sous-ensemble ouvert de $\text{[math]}$ tels que son bord soit formé de trois points uniquement ?

On me demande ça dans mon exercice mais j'ai beau essayé de trouver un exemple, à chaque fois le bord de mon ensemble est formé d'une infinité de points ou alors il est fermé ...

Si je prend le sous ensemble :

A = { (1,2); (2,3); (5;6) } son bord formé de trois points (non ?) mais malheureusement il est ouvert ...

Si vous pouviez me mettre sur la piste, ça serait bien

merci

inviteab2b41c6 · 22/12/2005, 20h25

Ton ensemble n'est justement pas ouvert.

Mais si tu prends R^2\A tu as bien ce que tu cherches, puisque A est fermé.
A+

inviteab2b41c6 · 22/12/2005, 20h28

Envoyé par martini_bird

Salut,

un classique: l'adhérence du graphe de la fonctions sinus.

Cordialement.

Plutot sin(1/x) non?
Auquel cas je pense que si f possède une singularité essentielle en 0, f(1/x), x réel est elle encore une solution?

**invite4793db90** · 22/12/2005, 20h48

Envoyé par Quinto

Plutot sin(1/x) non?
Auquel cas je pense que si f possède une singularité essentielle en 0, f(1/x), x réel est elle encore une solution?

Salut,

oui sin(1/x)...

Sinon le graphe de exp 1/x est fermé et les deux composantes connexes sont connexes par arcs. A première vue, je ne pense pas que la direction que tu indiques soit très fertile.

Cordialement.

**Bleyblue** · 22/12/2005, 21h01

Envoyé par Quinto

Ton ensemble n'est justement pas ouvert.

Mais si tu prends R^2\A tu as bien ce que tu cherches, puisque A est fermé.
A+

Ah oui en effet je confond encore un peu les termes ouverts/fermés, merci.

Et si je cherche un ensemble :

- compact dont le bord n'a qu'un seul point :

-> {(1,2)} convient ?

- borné et non compact :

{x,y $\text{[math]}$ } convient ?

merci

**Bleyblue** · 22/12/2005, 21h23

Ah non le second ne convient pas.
Je dirais plutôt :

- borné et non compact :

{x,y $\text{[math]}$ }

non ?

merci

invitedf667161 · 22/12/2005, 21h35

Oui ça c'est borné et non compact puisque c'est pas fermé.

Plus simplement tu as le disque unité ouvert.

**Bleyblue** · 22/12/2005, 21h44

ok, tiens c'est {x,y $\text{[math]}$ plutôt que $\text{[math]}$ } non ?

Oui j'y avais pensé au disque ouvert mais je me suis dit que ça serait plus difficile à décrire (je vais essayer de voir) ...

**Bleyblue** · 22/12/2005, 21h50

{x,y $\text{[math]}$ }
C'est bien ça ?

merci

invitedf667161 · 22/12/2005, 22h01

Oui c'est ça.

Mais plus simplement si tu dis "le disque unité ouvert" tout le monde sait de quoi tu parles

**Bleyblue** · 22/12/2005, 22h04

Ok merci bien !

invite3bc71fae · 23/12/2005, 09h59

Envoyé par Bleyblue

{x,y $\text{[math]}$ }
C'est bien ça ?

merci

Il faut écrire $\text{[math]}$

mais on peut écrire $\text{[math]}$

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