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Espaces numériques



  1. #1
    Bleyblue

    Espaces numériques


    ------

    Bonjour,

    Dites, si j'ai bien compris les espaces numériques ce sont simplement une généralisation des braves espaces , et ?

    Tout comme est un espace numérique à deux dimensions, est un espace numérique à n dimensions ?

    Et toutes les propriétés est valables en 1,2 et 3 dimensions se généralisent en dimensions n ?

    merci

    -----

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  3. #2
    GuYem

    Re : Espaces numériques

    Salut.

    Je n'ai jamais entendu le terme "espace numérique". Cela dit on peut croire que c'est simplement R^n avec n quelconque.

    Auquel cas il faut faire attention : certaines propriétés qui ont lieu en dimension 2 ou 3 ne passent pas en dimension supérieure ou inversement.
    Un exemple qui me vient à l'esprit : on peut recouvrir R^3 avec des cercles disjoints (des vrais cercles, sans l'intérieur), tandis que R^2 on ne peut pas.

    Bref tout ça pour dire qu'il faut faire gaffe.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Espaces numériques

    Ah bon.

    Moi en tout cas j'ai un chapitre dans mon cours intitulé "Espaces numériques et notions de topologie" dans lequel on généralise à Rn ce qu'on avait vu auparavant dans R et R² (topologie, fonctions, continuité, suites ...)

    Mais tiens je viens de voir qu'ils appelent aussi ça des "espaces euclidiens". C'est peut être ce terme la qui est le plus utilisé ?

    J'ai une question plus précise.
    Il est écrit dans mon cours :

    Un arc de courbe dans est l'image d'une application continue de f de [0,1] vers (...)
    Pourquoi spécialement sur [0,1] ? Ca pourrait fort bien être définit sur ]-oo, +oo[ un arc de courbe non ?

    merci !

  5. #4
    Ithilian_bzh

    Re : Espaces numériques

    On peut en effet, mais pour raison de commodité (topologiques...), on préfère travailler sur des segments [a,b], que l'on ramène à [0,1] par composition avec une application affine. Du moment que l'on a un intervalle au départ, ça marche bien.
    Astronome ingénieur alternatif

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bleyblue

    Re : Espaces numériques

    Ah oui.
    Je vois que ça permet entre autre de définir la connexité par arcs ...

    C'est amusant

    merci

  8. #6
    Quinto

    Re : Espaces numériques

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Pourquoi spécialement sur [0,1] ? Ca pourrait fort bien être définit sur ]-oo, +oo[ un arc de courbe non ?
    Comme ca a été dit, on peut avec tout ensemble du type [a,b] (ce que l'on appelle des segments, ou plus généralement des continus), mais avec ]-oo,+oo[ on n'aurait pas nécessairement la même chose.
    La raison est que [a,b] est compact, et pas R.
    A+

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : Espaces numériques

    ah oui IR n'est pas compact donc ça pose problème pour certaines applications j'imagine.

    merci !

  11. #8
    GuYem

    Re : Espaces numériques

    Si l'ensemble définition n'est pas compact tu n'es pas non plus sur d'avoir à faire à un arc de courbe compact.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Espaces numériques

    Oui car l'arc de courbe pourrait être infini (ne pas avoir d'extrémités ...)

    merci

  13. #10
    matthias

    Re : Espaces numériques

    Ce ne serait plus un arc alors.

  14. #11
    indian58

    Re : Espaces numériques

    A propos de connexité, voici une petite "kholle" : sauriez-vous trouver un ensemble connexe mais non connexe par arc??

  15. #12
    martini_bird

    Re : Espaces numériques

    Citation Envoyé par indian58
    A propos de connexité, voici une petite "kholle" : sauriez-vous trouver un ensemble connexe mais non connexe par arc??
    Salut,

    un classique: l'adhérence du graphe de la fonctions sinus.

    Cordialement.

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : Espaces numériques

    Moi j'ai juste eu la définition de connexe par arc.
    Connexe tout court je ne connais pas

  18. #14
    Ithilian_bzh

    Re : Espaces numériques

    En gros, la connexité formalise la propriété d'être "sans trou". Plus formellement, un ensemble est connexe si les seules parties à la fois ouvertes et fermées de l'ensemble sont lui-même et l'ensemble vide.

    Avec ça, tu peux démontrer des trucs du genre :

    connexe par arc => connexe
    connexe + ouvert => connexe par arc...
    Astronome ingénieur alternatif

  19. #15
    Bleyblue

    Re : Espaces numériques

    ah bon merci.

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    un classique: l'adhérence du graphe de la fonctions sinus.

    Cordialement.
    Tiens mais l'adhérence c'est bien la réunion de l'intérieur de l'ensemble avec son bord ?
    Or la fonction sinus est une courbe, qu'est ce que c'est que ça l'intérieur d'une courbe ? Je pensais qu'une courbe dans Rn était confondue avec son propre bord moi ...

    merci

  20. #16
    martini_bird

    Re : Espaces numériques

    Salut,

    ici la topologie n'est pas tout à fait celle de IR^2: les ouverts sont l'intersection d'un ouvert de IR^2 et de la courbe (topologie induite).

  21. #17
    GuYem

    Re : Espaces numériques

    Citation Envoyé par Ithilian_bzh
    En gros, la connexité formalise la propriété d'être "sans trou". Plus formellement, un ensemble est connexe si les seules parties à la fois ouvertes et fermées de l'ensemble sont lui-même et l'ensemble vide.

    Avec ça, tu peux démontrer des trucs du genre :

    connexe par arc => connexe
    connexe + ouvert => connexe par arc...
    J'aurais pas dit "sans trou", mais plutôt "en un seul bout".

    Le plan privé d'un disque est connexe (par arc) et pourtant il a un sacré trou.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  22. #18
    Ithilian_bzh

    Re : Espaces numériques

    Oui, le terme semble plus approprié, mais c'est ce qu'on avait dit dans le cours de maths... Merci pour cette correction.
    Astronome ingénieur alternatif

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  24. #19
    Bleyblue

    Re : Espaces numériques

    Dites pourriez-vous m'aidez à trouver un sous-ensemble ouvert de tels que son bord soit formé de trois points uniquement ?

    On me demande ça dans mon exercice mais j'ai beau essayé de trouver un exemple, à chaque fois le bord de mon ensemble est formé d'une infinité de points ou alors il est fermé ...

    Si je prend le sous ensemble :

    A = { (1,2); (2,3); (5;6) } son bord formé de trois points (non ?) mais malheureusement il est ouvert ...

    Si vous pouviez me mettre sur la piste, ça serait bien

    merci

  25. #20
    Quinto

    Re : Espaces numériques

    Ton ensemble n'est justement pas ouvert.

    Mais si tu prends R^2\A tu as bien ce que tu cherches, puisque A est fermé.
    A+

  26. #21
    Quinto

    Re : Espaces numériques

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    un classique: l'adhérence du graphe de la fonctions sinus.

    Cordialement.
    Plutot sin(1/x) non?
    Auquel cas je pense que si f possède une singularité essentielle en 0, f(1/x), x réel est elle encore une solution?

  27. #22
    martini_bird

    Re : Espaces numériques

    Citation Envoyé par Quinto
    Plutot sin(1/x) non?
    Auquel cas je pense que si f possède une singularité essentielle en 0, f(1/x), x réel est elle encore une solution?
    Salut,

    oui sin(1/x)...

    Sinon le graphe de exp 1/x est fermé et les deux composantes connexes sont connexes par arcs. A première vue, je ne pense pas que la direction que tu indiques soit très fertile.

    Cordialement.

  28. #23
    Bleyblue

    Re : Espaces numériques

    Citation Envoyé par Quinto
    Ton ensemble n'est justement pas ouvert.

    Mais si tu prends R^2\A tu as bien ce que tu cherches, puisque A est fermé.
    A+
    Ah oui en effet je confond encore un peu les termes ouverts/fermés, merci.

    Et si je cherche un ensemble :

    - compact dont le bord n'a qu'un seul point :

    -> {(1,2)} convient ?

    - borné et non compact :

    {x,y } convient ?

    merci

  29. #24
    Bleyblue

    Re : Espaces numériques

    Ah non le second ne convient pas.
    Je dirais plutôt :

    - borné et non compact :

    {x,y }

    non ?

    merci

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  31. #25
    GuYem

    Re : Espaces numériques

    Oui ça c'est borné et non compact puisque c'est pas fermé.

    Plus simplement tu as le disque unité ouvert.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  32. #26
    Bleyblue

    Re : Espaces numériques

    ok, tiens c'est {x,y plutôt que } non ?

    Oui j'y avais pensé au disque ouvert mais je me suis dit que ça serait plus difficile à décrire (je vais essayer de voir) ...

  33. #27
    Bleyblue

    Re : Espaces numériques

    {x,y }
    C'est bien ça ?

    merci

  34. #28
    GuYem

    Re : Espaces numériques

    Oui c'est ça.

    Mais plus simplement si tu dis "le disque unité ouvert" tout le monde sait de quoi tu parles
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  35. #29
    Bleyblue

    Re : Espaces numériques

    Ok merci bien !

  36. #30
    doryphore

    Re : Espaces numériques

    Citation Envoyé par Bleyblue
    {x,y }
    C'est bien ça ?

    merci
    Il faut écrire

    mais on peut écrire
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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