gradient d'un champ vectoriel?

[invitece7f8529]

bonjour,

je n'ai jamais vraiment approfondi la question de savoir comment on trouvait le gradient d'un champ vectoriel et le rotationnel du même champ en coordonnées cylindriques et sphériques dans le cadre d'un cours tel que la mécanique du solide...
D'abord, je n'ai jamais entendu parler de l'opérateur "grad" agissant sur un champ vectoriel avant de faire des recherches et de découvrir que le rotationnel d'un champ vectoriel en coordonnées cylindriques (et sphériques)se déduisait du gradient du même champ. En fait, l'opérateur grad nous a toujours été enseigné comme un opérateur qui agit sur un champ scalaire.
D'où ma première question: est-ce que la définition d'un gradient d'un champ vectoriel est licite?

Ensuite, j'ai joint une image au message -résultats de mes recherches. Cependant j'ai essayé une ou deux fois d'effectuer les "longs calculs" dont il est question au paragraphe 4.2.2 sans succès vu les réponses données juste en-dessous. Ces calculs se basent sur les expressions des opérateurs différentiels en coordonnées cylindriques (dérivation des fonctions composées) et sphériques respectivement. (équations 4.15)
Plus particulièrement, à quoi se réfèrent les indices? Est-ce que le premier désigne bien la variable par rapport à laquelle on dérive et le second l'expression du gradient suivant un des axes en coord cylindriques?

Quelqu'un pourrait-il m'éclaircir sur ces calculs (points principaux, départ..)?

Merci d'avance à quiconque saurait répondre
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[invited7f426cc]

Boujour,
il me semble que lorsque l'on m'a enseigné le gradient en maths, la définition s'écrivait
df(a)(h) = (Grad f (a) . h )
donc je ne pense pas que parler de gradient d'un champ vectoriel ait un sens car il est défini comme un des facteurs d'un produit scalaire...

[invite4ef352d8]

Salut !

Ba, ce qui corresont au gradient d'un champ de vecteur s'apelle plutot Jacobien en fait.

et effectivement, on peut trouver le rotationelle facilement en fonction du jacobien : le rotationelle est la parti anti-symétrique du jacobien (modulo l'identification usuelle de R^3 entre les application anti-symétrique et les vecteur par le produit vectoriel)

[invite4b9cdbca]

et effectivement, on peut trouver le rotationelle facilement en fonction du jacobien : le rotationelle est la parti anti-symétrique du jacobien (modulo l'identification usuelle de R^3 entre les application anti-symétrique et les vecteur par le produit vectoriel)

Euh... Très personnellemen la question m'intéressait, mais je trouve ça loin d'être facile...

Est ce que tu pourrais donner un exemple ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitece7f8529]

Plus précisément, ma question entre dans le cadre d'un cours tel que la mécanique du solide ou la mécanique des milieux continus. On m'a aussi enseigné le gradient comme étant un opérateur agissant sur un scalaire mais il faut noter que la question est vue aussi dans un contexte de calcul tensoriel.
C'est après avoir vu l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques (et sphériques) non démontrée que j'ai commencé les recherches. La seule démonstration que j'aie pu trouver était celle que j'ai donné en attaché ci-dessus. Malheureusement je viens de voir que le lien vers la démo ne marche plus. Cependant, voici un autre lien intéressant que je viens de trouver

http://jgarrigues.perso.egim-mrs.fr/...00000000000000

on y parle en effet de calcul tensoriel et on y voit le gradient comme lié au jacobien.

Mais je suis sûr que les longs calculs en question de l'image que j'ai attachée au premier message ne doivent pas être compliqués; je veux dire : les calculs qui permettent de trouver les composantes du gradient dans un premier temps puisque je sais que le rot s'en déduit aisément.

merci