Construire un flot à partir d'un champ vectoriel

[Lévesque]

Bonjour!

Si j'ai un champ vectoriel (par exemple) sur le plan cratésien U donné par [figure 1], alors la courbe intégrale est la courbe qui satifait

, .

Si la courbe passe par le point (x,y), elle doit satisfaire et donc, celle-ci est donnée par

[figure 2].

Définition Un flot local autour de est une application différentiable

,

(écrit ), où W est un voisinage ouvert souhaitable de dans U, tel que

1. est l'inclusion ;
2. toutes les fois que les deux côtés de cette équations sont définies.

Si , la ligne de flot par est la courbe , .

Théorème Soit X un champ vectoriel sur U et . Alors il y a un flot local autour de tel que les lignes de flot sont les courbes intégrales à X. Deux tels flots locaux coïncident sur leur domaine commun.

Définition Le flot local associé à X comme dans le théorème précédent est dit être généré par X. Aussi, le champ vectoriel X est appelé le générateur infinitésimal du flot local

Voilà. Au début du post, j'ai donné un exemple de courbe intégrale. Mon problème, c'est que je ne comprends pas bien la différence entre courbe intégrale et flot. Le flot est un peu comme ce qu'on appelle un opérateur d'évolution en physique. Si je pars d'une série de points (x,y) tel que, par exemple, , je peux appliquer le flot généré par le champ X donné au début du post: , à t=0, notre ensemble de points de retrouvait sur un cercle d'un certain rayon 1, et on fait évoluer, i.e. grandir le rayon en augmentant t [figure 3].

Est-ce que la différence entre la courbe intégrale et le flot se situe seulement au niveau de ce qu'on en fait?

Une autre question. Comment déterminer le domaine de définition du flot? A-t-il un lien avec le domaine de définition de la courbe intégrale? Y a-t-il des courbes intégrales qui ne peuvent pas donner naissance à un flot?

Peut-être d'autres questions me viendront, je préfère commencer par ça.

Merci,


Simon


Source des théorème et définitions : Lawrence Colon, Differentiable Manifolds : A First Course, Birkhäuser Advanced Texts, p.57-58 (1993)
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[Lévesque]

Je réalise que mon coefficient de compréhension a pas mal augmenté en rédigeant ce post... Tout de même, toute précision sera la bienvenue.