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endomorphisme...diagonalisable ?



  1. #1
    pavlinka

    endomorphisme...diagonalisable ?


    ------

    dans un dm, une question étais barrée, c'étais "l'endomorphisme est il diagonalisable"
    ca veut dire que sa matrice est diagonalisable? est que c'est quand son rang vaux la dimension de l'espace de l'endomorphisme ou bien je suis à coté? Parce que moi j'ai répondu que c'etais quand l'endomorphisme est bijectif, mais ca c'est pour dire que sa matrice est inversibe, pas forcément diagonalisable, non?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    matthias

    Re : endomorphisme...diagonalisable ?

    Citation Envoyé par pavlinka
    dans un dm, une question étais barrée, c'étais "l'endomorphisme est il diagonalisable"
    ca veut dire que sa matrice est diagonalisable?
    Sa matrice dans une base donnée, oui.
    Et c'est cohérent car si sa matrice dans une base est diagonalisable, alors sa matrice dans une autre base l'est aussi.

    Citation Envoyé par pavlinka
    est que c'est quand son rang vaux la dimension de l'espace de l'endomorphisme ou bien je suis à coté? Parce que moi j'ai répondu que c'etais quand l'endomorphisme est bijectif
    Non.
    La matrice :
    1 1
    0 1
    est inversible sans être diagonalisable. L'endomorphisme associé à cette matrice dans une base quelconque est bijectif mais pas diagonalisable.

    A l'opposé, la matrice :
    0 0
    0 1
    est diagonalisable sans être inversible. L'endomorphisme associé à cette matrice dans une base quelconque est diagonalisable mais pas bijectif.
    Dernière modification par matthias ; 18/05/2006 à 19h56.

  4. #3
    Ithilian_bzh

    Re : endomorphisme...diagonalisable ?

    Diagonalisable veut juste dire que dans une certaine base, la matrice est diagonale.

    Effectivement, inversibilité et diagonalisabilité n'ont aucun rapport "particulier" ; certains endomorphismes sont simplement trigonalisables (ie. il existe une base dans laquelle la matrice est triangulaire supérieure), non diagonalisables et inversibles.

    [EDIT : grillé...]
    Astronome ingénieur alternatif

  5. #4
    rvz

    Re : endomorphisme...diagonalisable ?

    Salut,

    Je rappelle à toutes fins utiles qu'il existe des morphismes non trigonalisables. En fait, ça dépend sur quel corps de base on travaille.
    Il doit y avoir une caractérisation du type
    A est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé.
    Du coup, dans R, ça marche pas à tous les coups, puis alors dans les corps du type Fp, K(Y), c'est tout de suite moins clair...

    __
    rvz

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    fderwelt

    Re : endomorphisme...diagonalisable ?

    Bonjour,

    Et juste histoire de semer mon souk, la matrice nulle (qui est invariante par changement de base) est parfaitement diagonale, et manifestement non inversible. C'était la blague de Micjel Denisot, non, de fderwelt, ce qui n'est pas mieux.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  8. #6
    pavlinka

    Re : endomorphisme...diagonalisable ?

    merci pour toute ces infos

    Maintenant que je sais quand une matrice est trigonalisable, quand est ce qu'elle est diagonalisable?

  9. Publicité
  10. #7
    maxevans

    Re : endomorphisme...diagonalisable ?

    Ben si tu veux la reponse complete d'un pauvre ancien taupin:
    Ces propriétes sont équivalentes (on appelle u l'endomorphisme sachant que les proprietes de u sont valables pour M sa matrice)
    1/ u est diagonalisable
    2/ il existe un base de vecteurs propres pour u
    3/ il existe un base dans laquelle M est diagonale
    4/ le polynome characteristique est scinde et son degre est la somme des puissances des vap
    5/ il existe un polynome annulateur scinde a racines simples

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