matrice diagonalisable

[christophe_de_Berlin]

Bonjour,

J´ai la question suivante: Je lis la chose suivante:

Une matrice est diagonalisable <=>:

1 - Son polynôme caractéristique est scindé,
2 - pour toute valeur t, on a l´égalité:

d(t) = m(t)

Je précise:
d(t) est la dimension de l´espace propre relatif à t,
m(t) est la multiplicité de t dans le polynôme caractéristique.

Bon, je veux bien, mais intuitivement, j´aurais cru que si un polynôme caractéristique, disons de degré n est scindé, c´est qu´il a n racines, donc automatiquement chaque racine a une multiplicité égale à 1, non?
Donc j´aurais cru que les racines tout polynôme scindé ont toute une multiplicité égale á 1.

merci d´avance

christophe
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[Bleyblue]

Salut,

ça veut dire quoi scindé ?
En tout cas il n'est pas nécessaire que toutes les racines soient de multiplicité 1
Il se peut qu'une matrice de R³ ayant (par exemple) p(x) = (x - 1)²(x + 1) comme polynôme caractéristique soit diagonalisable

[Coincoin]

Salut,
Scindé, ça veut dire que toutes les racines sont dans le corps que tu considères. Tous les polynômes sont scindés dans C, mais x²+1 n'est pas scindé dans R.
Pour répondre à la question de Christophe, l'exemple de Bleyblue est parfait : tu peux avoir un polynôme scindé avec des racines multiples.

[christophe_de_Berlin]

ça me chiffonne:

bon, un polynôme de degré n dans un corps quelconque a au maximum n racines.

Ce polynôme est scindé quand il a exactement n racines. Dans ton exemple Bleyblue, le polynôme n´est pas scindé, puisqu´il est de degré 3 et qu´il n´a que 2 racines.

Y a-t-il quelquechose qui m´échappe?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef4181796]

Il faut compter les multiplicités des racines. Par exemple, dans (x-2)^2, la racine 2 compte 2 fois.
Et pour les matrices, le thm correct est M est trigonalisable <=> son polynôme caractéristique est scindé.

[Coincoin]

Oui... tu n'as pas la bonne définition de scindé.

Ce polynôme est scindé quand il a exactement n racines

Pour pouvoir dire ça, il faut compter m fois les racines de multiplicité m. Le polynôme de Belyblue est scindé.

[invitef4181796]

J'oubliais de dire que le thm de Christophe_de_Berlin esr également correct...

[christophe_de_Berlin]

bon je veux bien, mais alors, si c´est ça la définition, tout polynôme est scindé!

Car ça revient à additioner les multiplicités de toutes les racines, et dans ce cas on retrouve toujours le degré du polynôme! non?

[matthias]

bon je veux bien, mais alors, si c´est ça la définition, tout polynôme est scindé!

Comment tu fais pour X²+1 dans R ?

Dans C, tout polynôme est scindé, on dit que C est un corps algébriquement clos.

[christophe_de_Berlin]

euh... bon vous avez raison... Je crois que je confond toutes les définitions. Je vais revoir tout ça, et après je me remanifeste.

merci

[Bleyblue]

Moi je retiens simplement que :

L'opérateur linéaire f représenté par la matrice M dans la base B sur V (V est un espace vectoriel réel de dimension finie) est diagonalisable ssi il est possible de former une base B de V à partir de vecteurs propres de f.

Donc je recherche bêtement les valeurs propres de M ainsi que les sous espace propres associés .
Si la somme des dimensions de tous les espaces propres n'est pas égale à la dimension de V alors f n'est pas diagonalisable (et si c'est le cas alors f est diagonalisable)

[invite056d888d]

salut,
pour mettre tout le monde d'accord : un polynome est scindé <=> il peut s'écrire sous la forme П(x-a[i])^p où a[i] est la i-eme racine du polynome et p son ordre de multuplicité. Par exemple x^2+1 n'est pas scindé sur IR car on ne peut pas l'écrire sous la forme (x-a)(x-b) mais sur C il s'écrit bien sous la forme (x-i)(x+i) .
a+