questions sur forme quadratique

[invitee77c7b58]

2 points et d'autres à venir ne sont pas très clairs pour moi:
. comment prouver qu'une matrice associée à une forme quadratique définie est inversible?
. On assimile le noyau d'une forme quadratique à celui de sa forme linéaire stmétrique associée. Pourquoi? On ne parle pas à priori de la même chose (pas le même ensemble de départ: E*E pour la forme b s et E pour q?).

Merci pour les réponses.

Ben11
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[invite8b04eba7]

Salut !

Un façon élémentaire de voir tout ça, c'est de se représenter les choses matriciellement : à toute forme bilinéaire symétrique on peut associer une matrice symétrique formée des scalaires . La correspondance entre formes quadratiques et fonctions bilinéaires symétriques est bijective (c'est grâce aux formules de polarisation) en caractéristique différente de 2.

Matriciellement, le calcul de se fait par donc si ta forme quadratique est définie on n'a jamais (sauf si X est nul...) donc forcément on ne peut jamais avoir , ce qui prouve que la matrice d'une forme quadratique définie est inversible.

Autre chose, quand on parle du noyau d'une forme quadratique, c'est par définition le noyau de la matrice qui lui est associée. L'ensemble des points où la forme quadratique s'annule n'est pas un espace vectoriel, ça s'appelle le cône d'isotropie.

Sans parler de matrices, tu peux voir le noyau d'une forme quadratique q comme l'orthogonal de E pour la forme bilinéaire associée. C'est aussi le noyau de l'application

[invite9c9b9968]

Sans parler de matrices, tu peux voir le noyau d'une forme quadratique q comme l'orthogonal de E pour la forme bilinéaire associée. C'est aussi le noyau de l'application

Il vaut mieux le retenir ainsi, car cette définition est généralisable à des espaces préhilbertiens

[invitee77c7b58]

Merci pour la clarté des explications!
La représentation matricielle m'a bien aidé!

Ben11

[A voir en vidéo sur Futura]