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restriction d´une forme quadratique



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    restriction d´une forme quadratique


    ------

    bonjour,

    j´ai une question sur la restriction d´une forme quadratique d´un espace vectoriel E sur un sous-espace F:

    Je sais que si q est dégénérée sur E, c.a.d rad(q) différent de l´élément neutre, sa restriction qf sur F peut tout-à-fait être non dégénérée.

    Mais par contre, je crois qu´à l´inverse, si q est non dégénérée sur E, elle ne peut qu´être non dégénérée sur un sous-espace F.

    Quelqu´un peut-il me le confirmer?

    merci d´avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    modulaire

    Re : restriction d´une forme quadratique

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    bonjour,

    j´ai une question sur la restriction d´une forme quadratique d´un espace vectoriel E sur un sous-espace F:

    Je sais que si q est dégénérée sur E, c.a.d rad(q) différent de l´élément neutre, sa restriction qf sur F peut tout-à-fait être non dégénérée.

    Mais par contre, je crois qu´à l´inverse, si q est non dégénérée sur E, elle ne peut qu´être non dégénérée sur un sous-espace F.

    Quelqu´un peut-il me le confirmer?

    merci d´avance
    Ben, non, pas vraiment: sur R+R (ici le + est la somme directe) prends b(X,Y)= x(1)y(2)+y(1)x(2)
    avec X=(x(1),x(2)), pareil pour Y; b est non dégénérée, mais R+0 et 0+R (sommes directes) sont des sous espaces isotropes.

    tu confondrais pas avec définie par hasard?

  4. #3
    fderwelt

    Re : restriction d´une forme quadratique

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    bonjour,

    j´ai une question sur la restriction d´une forme quadratique d´un espace vectoriel E sur un sous-espace F:

    Je sais que si q est dégénérée sur E, c.a.d rad(q) différent de l´élément neutre, sa restriction qf sur F peut tout-à-fait être non dégénérée.

    Mais par contre, je crois qu´à l´inverse, si q est non dégénérée sur E, elle ne peut qu´être non dégénérée sur un sous-espace F.

    Quelqu´un peut-il me le confirmer?

    merci d´avance
    Bonjour,

    Je ne fais que confirmer ce que dit modulaire:

    Une forme non dégénérée peut tout-à-fait avoir une restriction nulle. Ça s'appelle des sous-espaces totalement isotropes... Voir le fil "Bêtes questions d'algèbre" sur ce Forum, pour la métrique de Minkowski (t²-x²-y²-z²) les sous-espaces sur lesquels la restriction est identiquement nulle sont de dimension un.

    -- françois

  5. #4
    christophe_de_Berlin

    Re : restriction d´une forme quadratique

    bon ben dommage, ça m´aurait bien simplifié la vie. En fait il s´agit pour moi de prouver dans un exercice que la droite vectorielle Rv de l´espace R4 est une espace régulier, c´est-à-dire que la restriction de q á cette droite est non dégénérée.

    Mais maintenant que j´y pense, puisque c´est une droite vectorielle, le déterminant de la restriction de q dans cette droite est automatiquement différent de 0 non?

    Donc dans ce cas, q ne peut être que non dégénérée?

    ai-je raison cette fois?

    christophe

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    fderwelt

    Re : restriction d´une forme quadratique

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Mais maintenant que j´y pense, puisque c´est une droite vectorielle, le déterminant de la restriction de q dans cette droite est automatiquement différent de 0 non?
    Bonjour,

    Ce n'est pas très clair... Tu prends quoi comme forme quadratique? Et le "puisque c'est une droite vectorielle" me semble plus que douteux. Tu peux préciser stp?

    -- françois

  8. #6
    christophe_de_Berlin

    Re : restriction d´une forme quadratique

    Oui, excuse moi, en relisant mon message, je m´aperçois que j´ai été avare d´explications:

    Il s´agit de IR4 muni de
    q = t^2 - x^2 - y^2 - z^2,

    espace de Minkowski.

    On prend un vecteur temporel v, c.a.d. tel que q(v) >0.
    J´appelle IRv la droite vectorielle générée par v.

    Il s´agit de prouver que IR4 est somme directe de la droite vectorielle IRv et son orthogonal que j´appelle par la suite "IRv(ortho)".

    Donc je veux utiliser le théorème comme quoi si la restriction de q à un sous-espace F de E est non dégénérée, E est la somme directe de F et de son orthogonale.

    Pour cela, il me faut d´abord prouver que q est non dégénérée sur IRv. En fait il suffit de dire que le rang de cette restriction de q à IRv est 1, donc égal à la dimension du sous-espace IRv, non?

    D´autre part il s´agit de prouver ensuite que IRv(ortho) est composé de 0 et de vecteurs spatiaux et que c´est un espace euclidien pour le produit scalaire
    z1*z2 = -beta(z1,z2).

    Pour cela je pense qu´il suffit de faire comme ça:

    IRv(ortho) est un sous-espace de dim 3. Muni de la restriction de q, c´est aussi un espace quadratique. En tant que tel il possède une base orthogonale B1.

    Pour prouver que IRv(ortho) ne possède que des vecteurs spatiaux, il suffit de prouver que la base orthogonale B1 ne possède que des vecteurs spatiaux. Or c´est facile de prouver ça, vu que cette base orthogonale B1 et un vecteur quelconque de IRv forment une base orthogonale de IR4.

    Or selon la loi d´inertie de sylvester, vu que la signature de l´espace de Minkowki est (1,3) et que q est définié positive sur IRv, q ne peut être que définie négative sur son orthogonale IRv(ortho).

    Bon, ça m´a l´air un peu compliqué et indirect comme méthode mais je crois que ça marche.

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  10. #7
    fderwelt

    Re : restriction d´une forme quadratique

    Bonjour,

    Désolé d'avoir tardé, j'ai des problèmes de connexion en ce moment.

    Il me semble que ton problème est plus simple que tu ne crois. Je note F° l'orthogonal d'un sous-espace F.

    Un vecteur v du genre "temps" engendre une droite vectorielle F = Rv, sur laquelle la forme de Minkowski q est définie négative.
    L'orthogonal F° contient donc l'orthogonal de Rv, qui est précisément constitué des vecteurs de genre "espace". Comme, pour des questions de dimension, il ne peut pas être plus grand, il est donc égal au sous-espace des vecteurs du genre "espace", de dimension 3, et où q est définie négative.

    Ça ne marcherait évidemment pas si la signature était (2,2) soit (++--).

    Cordialement,

    -- françois

  11. #8
    fderwelt

    Re : restriction d´une forme quadratique

    Citation Envoyé par fderwelt
    Un vecteur v du genre "temps" engendre une droite vectorielle F = Rv, sur laquelle la forme de Minkowski q est définie négative.
    Je voulais dire "positive", bien sûr.

    -- françois

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