Matrice d'une forme quadratique

[invitef47010ed]

Bonjour,
En colle on m'a donné cette expression
Q(x)=ax²+bx+cy²+dy+exy+f
Et ces questions:
1)Trouver la matrice de Q
2)Trouver la matrice de la forme polaire associée
(Les coeff étaient fixés et choisi au hasard)
J'ai tout de même quelques questions qui m'empêchent de dormir

On a prouvé que dans le cas général Q(x) n'est pas une forme quadratique( en utilisant la forme canonique et l'identité de polarisation)

Mais en calculant chez moi je me suis rendu compte que Q n'est pas un endomorphisme, donc comment trouver sa matrice dans la base canonique? Est ce qu'on sait calculer la matrice lorsqu'on a pas un endormorphisme?
D'instinct je dirais non

Si on a une forme quadratique,on a Q(l*x+m*y) n'est pas égal à lQ(x)+mQ(y); ce n'est donc pas un endomorphisme... Mais pourtant on arive à écrire sa matrice...
Merci de m'éclairer
-----

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Bin non, Q n'est pas un endomorphisme... puisque ce n'est pas linéaire!
Quand on a une forme quadratique:

Q(x,y) = ax² + 2bxy + cy²

sa matrice est symétrique et c'est

a b
b a

(désolé pour le LaTeX, faudra vraiment que je m'y mette).
Mais là tu as en plus des termes linéaires en x et y, ce n'est donc même pas une forme quadratique. Je ne comprends pas bien ce qu'on voulait te faire trouver...

-- françois

[invitedf667161]

+1, ton expression n'est ni une forme quadratique, ni un endomorphisme. Es-tu sûr d'avoir bien récopié ?

Au passage, je te suggère de prendre bien garde, dès maintenant à ne pas confondre la matrice d'un endomorphisme et celle d'une forme quadratique : même si ces objets ont la même tête (matrice), ils ne représentent pas du tout la même chose !

Et pour cause :
-Un endomorphisme, c'est une application f : E->E
-Une forme quadratique c'est une application q : ExE -> K
(K = R ou C le plus souvent)

[invitef47010ed]

Oui justement les premières questions étaient des questions pièges...
En effet on a appris un "truc" pour écrire les matrices quadratiques facilement ( avec les demis coeff etc...) et là le but c'était qu'on réagisse et qu'on montre qu'en fait ce n'était pas une forme quadratique...
Donc c'est bien ce que je pensais: on ne peut pas écrire de matrice à partir de cette expression, merci!

[A voir en vidéo sur Futura]