Inverse d'une matrice sous la forme d'une expression polynomiale.

[invited89c0c70]

bonjour à tous !

J'ai un petit soucis, j'ai cette matrice :



Et on me demande de donner l'inverse de A sous la forme d'une expression polynomiale en A, et je ne vois vraiment pas comment partir.
Sachant que juste avant dans mon exercice je devais trouver une matrice P inversible telle que PAP-1 soit sous une forme de Jordan, ce que j'ai fais, je ne sais pas s'il y'a un rapport entre les deux.

Vos aides seraient très précieuses, merci beaucoup
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[invitea29d1598]

salut!

deux indices :

- rappelle-toi de la formule qui donne la somme d'une série géométrique

- réfléchis à ce que veut dire nilpotent

j'ai même pas regardé ton exemple, mais je parierais que c'est lié à ce que je te raconte

[invited89c0c70]

Pour la somme d'une série géométrique, je m'en souviens bien, mais par contre si tu parles de matrice nilpotente, celle ci ne l'est pas : A^p n'est jamais nulle dans mon cas (p indice de nilpotence) lol

[invited89c0c70]

Je dois peut-être exploiter son polynome minimale, puisque comme le polynome caractéristique est (t-2)(t-1)³ et comme (A-2I)(A-I)³=0
mais que (A-2I)(A-I)² n'est pas nulle, son polynome minimal est donc (t-2)(t-1)³.

Je dois partir de l'égalité (A-2I)(A-I)³=0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Je dois peut-être exploiter son polynome minimale, puisque comme le polynome caractéristique est (t-2)(t-1)³ et comme (A-2I)(A-I)³=0
mais que (A-2I)(A-I)² n'est pas nulle, son polynome minimal est donc (t-2)(t-1)³.

Je dois partir de l'égalité (A-2I)(A-I)³=0 ?

Salut,

tu peux le faire comme ça : tu obtiens et le tour est joué.

Cordialement.