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Inverse d'une matrice



  1. #1
    lolouki

    Inverse d'une matrice


    ------

    Bonjour tout le monde,

    Ayant fini mes cours de 1ere annee de licence mias, j'etais en train de ranger mes cours d'algebre quand je me suis posé une question.

    J'ai eu un cours sur les matrices, et donc on a étudier les matrices inversibles. Mais je n'ai pas compris concretement comment on savais si une matrice était inversible et dans ce cas, comment calculte t'on l'inverse ?

    merci d'avance pour votre aide.

    -----

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  3. #2
    rvz

    Re : Inverse d'une matrice

    Bonjour.

    Un critère pour savoir si une matrice est inversible : Le déterminant !

    Une matrice est inversible ssi son déterminant est non nul.

    Par contre, calculer l'inverse est beaucoup plus difficile. Tu peux utiliser la formule transposée de la comatrice divisé par le déterminant, ou bien résoudre un système géant et faire un pivot de Gauss, et c'est bien plus rapide numériquement.

    __
    rvz

  4. #3
    akabus47

    Re : Inverse d'une matrice

    Bonsoir

    Une matrice est A est inversible si son determinant est different de 0 ( entre autre) , ou s'il existe une matrice B telle que A*B=B*A=I .

    Il y a plusieur methodes pour trouver A^(-1)
    comme :

    A^(-1)=[1/det(A)]*transposée de la comatrice de A

    ou encore la methode de Gauss-Jordan , .........

  5. #4
    akabus47

    Re : Inverse d'une matrice

    Ha voila , RVZ m'a devancé....

  6. #5
    lolouki

    Re : Inverse d'une matrice

    Ok merci beaucoup, je vosice qu'est le systeme de Gauss.

    Par contre qu'est ce que le cofacteur ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    lolouki

    Re : Inverse d'une matrice

    Enfin je veux dire quel est le terme général de la comatrice ?

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  10. #7
    akabus47

    Re : Inverse d'une matrice

    Pas le cofaceur , la comatrice

    Si A=(ai,j) , alors

    Si com(A)=(bi,j)

    bi,j=(-1)^(n+1) * le determinant de ta matrice A a la quelle tu a enlevé la ième ligne et la jème colonne

    C'est ce terme le cofacteur je crois

  11. #8
    lolouki

    Re : Inverse d'une matrice

    Ok merci beaucoup

  12. #9
    matthias

    Re : Inverse d'une matrice

    Citation Envoyé par akabus47
    bi,j=(-1)^(n+1) * le determinant de ta matrice A a la quelle tu a enlevé la ième ligne et la jème colonne
    C'est (-1)i+j pas (-1)n+1

  13. #10
    akabus47

    Re : Inverse d'une matrice

    En effet , dslé pour l'erreur

  14. #11
    indian58

    Re : Inverse d'une matrice

    J'ai une question à propos de l'inversion d'une matrice: comment fait-on pour en inverser une temps linéaire??
    Pour moi, la méthode la plus rapide est de calculer le polynôme caractéristique.

  15. #12
    matthias

    Re : Inverse d'une matrice

    Citation Envoyé par indian58
    J'ai une question à propos de l'inversion d'une matrice: comment fait-on pour en inverser une temps linéaire??
    Je ne sais pas s'il existe un algorithme qui fasse ça. J'en doute.

    Citation Envoyé par indian58
    Pour moi, la méthode la plus rapide est de calculer le polynôme caractéristique.
    Et tu le calcules comment le polynôme caractéristique ?

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  17. #13
    fderwelt

    Re : Inverse d'une matrice

    Citation Envoyé par indian58
    J'ai une question à propos de l'inversion d'une matrice: comment fait-on pour en inverser une temps linéaire??
    Bonjour,

    Linéaire? Niet. Sauf cas particuliers. Voir le site de Numerical Recipes par exemple (je suis en vacances et j'ai pas les références exactes sous la main, y'a qu'à googler).
    Mais en n.log(n), ça oui, même si ça demande des astuces sordides et si la précision numérique s'en ressent.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  18. #14
    fderwelt

    Re : Inverse d'une matrice

    Bonjour,

    Oups. J'ai dit une grosse bêtise:
    Citation Envoyé par fderwelt
    Mais en n.log(n), ça oui, même si ça demande des astuces sordides et si la précision numérique s'en ressent.
    Consulté le site de Numerical Recipes (http://www.nr.com) et voilà le résultat.

    En principe l'inversion d'une matrice nxn est en n3. Mais avec pas mal de bricolages sordides, on peut arriver à limiter les dégâts à n^(log2 7), soit environ n2.8, ce qui n'est pas très intéressant si n n'est pas vraiment gigantesque.

    En tout cas, rien à voir avec n.log n, contrairement à ce que je disais... Je confondais avec la multiplication par transformée de Fourier, qui n'a rien à voir. Désolé.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  19. #15
    rvz

    Re : Inverse d'une matrice

    Citation Envoyé par fderwelt
    En principe l'inversion d'une matrice nxn est en n3.
    Bonjour,

    C'est bien par la méthode du pivot de Gauss qu'on obtient ça ?

    Mais avec pas mal de bricolages sordides, on peut arriver à limiter les dégâts à n^(log2 7), soit environ n2.8, ce qui n'est pas très intéressant si n n'est pas vraiment gigantesque.

    lol Je serais curieux de voir une méthode sordide !

    __
    rvz

  20. #16
    fderwelt

    Re : Inverse d'une matrice

    Bonjour,

    Citation Envoyé par rvz
    C'est bien par la méthode du pivot de Gauss qu'on obtient ça ?
    Oui, ou toute autre méthode équivalente (décomposition LU par exemple), qui de toutes façons n'est qu'un réordonnancement des opérations.

    lol Je serais curieux de voir une méthode sordide !
    Voilà:
    http://www.library.cornell.edu/nr/bookcpdf/c2-11.pdf
    Mais c'est bien bien crade, hein...

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

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