Matrice inverse

[inviteb4d8c3b4]

Bonjour,

j'ai calculé à partir d'une matrice de base, sa transposée puis son inversion mais j'ai un problème, je sais ce que je dois obtenir et ce n'est pas ce que je trouve. J'ai donc une erreur mais je ne la vois pas. Quelqu'un pourrait-il m'indiquer ce qui ne va pas dans ce que je vais écrire svp :

matrice de base:
1 0 1
0 1 1
0 1 -1

Sa transposée:
1 0 0
0 1 1
1 1 -1

Le déterminant général est : delta=-2

Les déterminants de chaque colonne de la transposée:
delta colonne 1 = -2 - 0 + 0
delta colonne 2 = 0 - (-1) + 1
delta colonne 3 = 0 - 1 + (-1)

Avec l'attribution des signes corrects j'ai la matrice inversée suivante multipliée par le facteur -1/2 dans un premier temps puis j'attribue le (-):

-2 0 0
0 1 1 x (-1/2)=
0 1 -1

2 0 0
0 -1 -1 x 1/2
0 -1 1

Mais c'est pas possible, je devrais obtenir la matrice inverse suivante:

2 -1 1
0 1 1 x 1/2
0 1 -1

Où est mon erreur de calcul ?
Merci d'avance !
-----

[le fouineur]

Bonjour jeanmi66,

J'ai repris tes calculs et apparemment tu t'est trompé dans le calcul de l'adjoint de la transposée.Ton calcul du déterminant est bon: c'est bien -2
Il faut reprendre le calcul en procédant par étapes:

1)calcul du déterminant de M
2)transposition de M
3)Calcul de l'adjoint de M sans changer les signes
4)calcul de l'adjoint de M en changeant 1 signe sur 2 (et pas en changeant tous les signes comme tu as fait)
5)multiplication de l'inverse du déterminant par l'adjoint de M (avec 1/2 signes changés)

Tu n'as pas su calculer l'adjoint de M sans changer les signes:c'est pour chaque élément de la matrice calcul du déterminant qui subsiste en ayant éliminé la ligne et la colonne sur laquelle se trouve cet élément:en tout 9 opérations à faire....
Changement de signe: à effectuer sur 4 éléments seulement.

Cela donne pour ta matrice M:

Transposée de M:


Adjoint de M sans changer les signes:


Adjoint de M avec signes changés:


Shéma pour changer les signes sur une matrice 3*3:


Matrice inverse de M:


Cordialement le fouineur

[inviteb4d8c3b4]

Merci LE FOUINEUR, je vais potasser ça !

[inviteb4d8c3b4]

Olaaa, je comprend pas déjà comment tu trouve cet "adjoint" de M sans les signes ! J'ai pas ça dans mes cours l'adjoint. Comment le calcule tu ?

Je suivais mon cours et voici ce qu'il est dit qu'il faut faire:

On calcule la transposée -----> ok

At=
1 0 0
0 1 1
1 1 -1

on calcule comme le déterminant de chaque colonne:

c1: -2 -0 +0
c2: +0 -(-1) +1
c3: +0 -(+1) +1

et en fait, le cours dit que l'on prend ces coef et on les met en colonne dans la matrice transposée en changeant tous les facteurs ! :

A inverse=
2 0 0
0 1 -1 x(-1/2)
0 -1 1

Voilà mon cours, je comprends pas pourquoi ils disent de faire ça !???? Votre technique à l'air plus logique, celle de mon cours à l'air débile !!!

Savez-vous ce que cette solution qu'ils proprosent veut dire ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[le fouineur]

Ma méthode est texto celle qui m'a été enseignée par mon professeur de mathématiques quand j' étais en BTS (mon professeur est d'ailleurs l'auteur de plusieurs livres pour la préparation aux problèmes de BTS et celle des concours d'entrée aux grandes écoles)

Honnêtement,je ne connais pas d'autre méthode efficace pour parvenir rapidement à la matrice inverse.

Tu pourras constater que ma méthode est celle adoptée par wikipedia pour la rédaction de son article sur les matrices inverses.La seule différence avec la mienne est que wikipedia commence par calculer l'adjointe de M avant de transposer...Moi, je préfère commencer par transposer,ce qui évite d' oublier de le faire par la suite....On démontre que l'adjointe d'une transposée est égale à la transposée de l'adjointe.

L'article de wikipédia peut être retrouvé facilement en tapant "matrice inverse" à l'aide de Google.Dans l'article de wikipedia,il faut descendre au paragraphe:"inversion des matrices 3*3".Tu y trouveras tous les détails pour calculer l'adjoint d'une matrice.

En espérant avoir répondu à ta question,

Cordialement le fouineur

[inviteb4d8c3b4]

Je viens de voir wikipedia et je viens d'appliquer la méthode de matrice inversée 3*3 et je n'arrive tjs pas à trouver.

Quelqu'un pourrait-il svp vraiment détailler les calculs (la transposée, les déterminants par colonne que l'on va ranger en matrice et où l'on va appliquer les changements de signes) ?

Merci d'avance.

[invite6a3dedc6]

Je viens de voir wikipedia et je viens d'appliquer la méthode de matrice inversée 3*3 et je n'arrive tjs pas à trouver.

Quelqu'un pourrait-il svp vraiment détailler les calculs (la transposée, les déterminants par colonne que l'on va ranger en matrice et où l'on va appliquer les changements de signes) ?

Merci d'avance.

Bon Bon Bon

On sait que si A est inversible alors son inverse est égale au quotien de la transposée de sa comatrice ( aussi appelé matrice adjointe ) par le déterminant id est A^(-1) = (t(com(A)))/dét(A)

notre matrice A est
1 0 1
0 1 1
0 1 -1

Sa comatrice est donc :
-2 0 0
+1 -1 -1
-1 -1 1

Bon pour obtenir la comatrice c'est pas très dur :
Imaginons que tu as une matrice M =
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33

alors sa comatrice notée N sera telle que :
n11=(-1)^( indice de la colonne, ici 1 * indice de la ligne, ici 1) * ((m22*m33)-(m32*m23))
n12=(-1)^(2+1)*(m21*m33-m31*m23)
n21=(-1)^(1+2)*(m12*m33-m32*m13)
.......


Donc sa transposée :
-2 1 -1
0 -1 -1
0 -1 1

tu divises par le déterminant et hop

Adio

Vive les nèfles

[invite6a3dedc6]

//Inverse d’une matrice 3*3
void InverseMatrice(double m[3][3],double mOut[3][3])
{

double d;

d=Determinant(m);

if ( d != 0 )
{

mOut[0][0] = (m[1][1]*m[2][2]-pow(m[1][2],2))/d;
mOut[1][1] = (m[0][0]*m[2][2]-pow(m[0][2],2))/d;
mOut[2][2] = (m[0][0]*m[1][1]-pow(m[0][1],2))/d;
mOut[0][1] = (m[1][2]*m[0][2]-m[1][0]*m[2][2])/d;
mOut[1][0] = (m[1][2]*m[0][2]-m[1][0]*m[2][2])/d;
mOut[0][2] = (m[0][1]*m[1][2]-m[1][1]*m[0][2])/d;
mOut[2][0] = (m[0][1]*m[1][2]-m[1][1]*m[0][2])/d;
mOut[1][2] = (m[0][1]*m[0][2]-m[0][0]*m[1][2])/d;
mOut[2][1] = (m[0][1]*m[0][2]-m[0][0]*m[1][2])/d;
}
}

allez tiens je te file meme l'algorithme pour une matrice symétrique ( pour une matrice ordinaire faut changer les trois premiers calculs de cofacteurs ), m matrice d'entrée, mOut matrice inversée, et d le déterminant de m

cuzico, les lignes et colonnes sont numérotées de 0 à 2 ; le (-1)puissance(indice de la ligne + indice de la colonne) n'apparait pas, car calculé de goualle

Adio

Vive les TFE