Petit exercice de géométrie

[Bleyblue]

Bonjour,

C'est à propos de l'exercice 10 ici :

http://www.ulb.ac.be/facs/sciences/m...o/Aout04sd.pdf

Alors. Cet opérateur linéaire admet deux valeurs propres :

12 (avec un sous espace propres de dimension 2)
- 18 (avec un sous espace propre de dimension 1)

Comme la somme de toutes les valeurs du spectre de f donne la dimension de l'e.v. de départ (2 + 1 = 3) l'opérateur est diagonalisable dans la base B formée des vecteurs propres.

(1,0,0) et (0,1,0) sont des vecteurs parallèles au plan z = 0
(1,1,1) est un vecteur parallèle à la droite x=y=z

donc B = {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,1)} et



Mais l'énoncé demande une matrice symétrique dans la base canonique.
Il faut faire une changement de base donc.

J'exprime les vecteurs de la base canonique dans la base B et je prends leur image par f :

(1,0,0) = [1,0,0]
(0,1,0) = [0,1,0]
(0,0,1) = [-1,-1,1]

f(1,0,0) = (12,0,0) = [12,0,0]
f(0,1,0) = (0,12,0) = [0,12,0]
f(-1,-1,1) = (-12,-12,-18) = [-30,-30,-18]

La matrice dans la base canonique vaut :



Et la matrice n'est pas symétrique donc la réponse est non.
C'est bon ça ?

merci
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[invite6be2c7d9]

Oui je pense que ton raisonnement est bon. Sinon tu peux faire comme çà : tu écris la matrice avec les coefficients inconnus dans la base canonique de IR^3 : par exemple a,b,c sur la diagonale et d,e,f pour les autres coefficients par symétrie. Ensuite tu l'as fait tu trouves des vecteurs propres dont les coordonnées dans la base canonique de IR^3 sont par exemple (1,1,1), (1,0,1) et (0,1,0). Tu écris que la matrice doit vérifier deux conditions à cause des deux espaces propres imposés et tu aboutis à une contradiction de la même façon. Le seul avantage c'est que là ya pas de changement de base à faire mais ça revient au même...

[invitec314d025]

Je ne sais pas si tu as vu qu'une matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale, mais si c'est le cas, alors tu n'as besoin d'aucun calcul. Il suffit de constater qu'il existe des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes et non orthogonaux.

[Bleyblue]

Oui je pense que ton raisonnement est bon. Sinon tu peux faire comme çà : tu écris la matrice avec les coefficients inconnus dans la base canonique de IR^3 : par exemple a,b,c sur la diagonale et d,e,f pour les autres coefficients par symétrie. Ensuite tu l'as fait tu trouves des vecteurs propres dont les coordonnées dans la base canonique de IR^3 sont par exemple (1,1,1), (1,0,1) et (0,1,0). Tu écris que la matrice doit vérifier deux conditions à cause des deux espaces propres imposés et tu aboutis à une contradiction de la même façon. Le seul avantage c'est que là ya pas de changement de base à faire mais ça revient au même...

Ah ok. Mais moi les changements de base à priori je suis bien entraîné donc ça va

Je ne sais pas si tu as vu qu'une matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale, mais si c'est le cas, alors tu n'as besoin d'aucun calcul. Il suffit de constater qu'il existe des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes et non orthogonaux.

Ah oui juste ! J'avais complètement oublié. Ca m'aurait évité des calculs inutiles. Enfin, je ne risque plus d'oublier maintenant

merci !

[A voir en vidéo sur Futura]