Exercice de géométrie (parallélogramme)

[inviteaf5b61be]

salut a vous!!

Soit un quatrilatère ABCD. on designe par I et J les milieux respectifs des diagonales [Ac]
et [BD]


1)demontrer AB^2 +BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2AJ^2 + 2CJ^2 + BD^2

2)En decomposant les vecteurs AJ et CJ a l'aide du point I et de la relation de chasles,

demontrer AB^2+ BC^2 + CD^2 + DA^2 = BD^2 + AC ^2+ 4 IJ^2

3) En deduire une relation entre les cotés et les diagonales caractérisant un parallélogramme

pour le premiere question j'ai essayé d'utiliser plusieurs fois la relation de chasles sa fonctionne pas j'ai essayé avec les médianes je pense que c'est cela mais le probleme c'est qu'il me reste un terme que je n'arrive pas à enlever
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[invite4b9cdbca]

Si tu nous disais où exactement tu es bloqué(e) ? Quel terme tu n'arrives pas à enlever, et même les relations que tu as utilisées ? Ce serait plus simple de te guider à partir de là...

PS : un merci serait pas de refus

[shokin]

Quelques trucs :

- le cosinus d'un angle compris entre deux vecteurs égale le produit scalaire des vecteurs sur le produit des normes de ces vecteurs.

- les triangles ABJ et AJD ont des hauteurs et bases respectivement égales. Idem pour BAI et BIC...

- mais aussi, le vecteur AJ égale la moitié de la somme des vecteurs AB et AD !

- tu te rendras facilement compte que le centre de gravité du quadrilatère est le milieu du segment IJ.

- Un autre truc (je ne sais pas si ça va t'être utile) : soient M, N, P et Q les milieux respectifs des 4 côtés d'un quadrilatère. Alors le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme (avec toutes ses propriétés). [Il va sans dire que le milieu des segments MP et NQ sont confondus en le point G.]

- sinon, tu connais le théorème de Pythagore, le théorème du cosinus...

Shokin