Relation d'équivalence sur un anneau

[Bleyblue]

Bonjour,

On me demande de déterminer si oui ou non la relation R définie sur l'anneau par



est une relation d'équivalence et dans l'affirmative donner les classes d'équivalences.

Moi il me semble évident que c'est bien une équivalence vu que, l'ensemble formant un anneau, je peux écrire :



Donc il faut soit c = 0 mod 12 mais ce n'est pas possible vu que c appartient à Z12 et c différent de zéro donc il reste a = b mod 12 (a et b dans Z12)
donc a = b ce qui est bien une équivalence ("=" est une relation réflexive symétrique et transitive)

Du coup eh bien les classes d'équivalence c'est simplement :

[ {0}, {1}, {2}, ..., {11} ]

Je me trompe quelque part la ? Ca me semble trop facile pour être juste

merci
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[inviteaf1870ed]

Tu es sur que ton anneau est intègre (= il n'y a pas de diviseurs de zéros) ?

Par exemple que vaut 2*6 dans ton anneau ?

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Effectivement tu te trompes. Z/12Z n'est pas un anneau intègre. Notamment, 4*3 = 2*6 = 4*6 = 0, par exemple.

__
rvz

[invite986312212]

attention à une petite finesse: dans un anneau A, A* désigne parfois l'ensemble des éléments non-nuls et parfois l'ensemble des éléments inversibles. Qu'en est-il dans ton problème?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

L'ensemble des éléments non nuls (l'ensemble des éléments inversibles ça serait U(A))

Sinon mon erreur est stupide en fait, je vais revoir ça.

merci !

[invite986312212]

as-tu remarqué que le fait que la relation est une relation d'équivalence découle d'une propriété très générale?
si sont des ensembles et une application, alors la relation sur est une relation d'équivalence.

dans ton problème, selon que c est inversible ou non, les classes d'équivalence seront différentes.

[Bleyblue]

Ah bon, je n'avais pas remarqué.

Il va faloir que je travaille ça parceque les relations, les classes d'équivalences, les partitions etc. je trouve ça monstrueusement difficile

meci

[invite6b1e2c2e]

Mais non mais non !

En fait, tu peux voir une relation d'équivalence comme la volonté d'étudier des objets en fonction de leurs propriétés. Et tu dis que 2 objets sont dans une même classe d'équivalence si ils ont les mêmes propriétés. Du coup, forcément, tu vas obtenir une partition de ton ensemble de départ en fonction des différentes propriétés que tu veux étudier.
Par exemple, dans ton cas précis, tu "identifies" a et b quand b-a est un diviseur de zéro. Et, d'une certaine manière, ça te transforme ta structure mulitplicative en une structure intègre, puisque tu obtiens alors z.c = 0, avec c non nul implique que z est dans la classe d'équivalence de zéro.

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rvz, pour une approche intuitive des classes d'équivalence

[invitedf667161]

Mais non mais non !

En fait, tu peux voir une relation d'équivalence comme la volonté d'étudier des objets en fonction de leurs propriétés. Et tu dis que 2 objets sont dans une même classe d'équivalence si ils ont les mêmes propriétés. Du coup, forcément, tu vas obtenir une partition de ton ensemble de départ en fonction des différentes propriétés que tu veux étudier.
Par exemple, dans ton cas précis, tu "identifies" a et b quand b-a est un diviseur de zéro. Et, d'une certaine manière, ça te transforme ta structure mulitplicative en une structure intègre, puisque tu obtiens alors z.c = 0, avec c non nul implique que z est dans la classe d'équivalence de zéro.

__
rvz, pour une approche intuitive des classes d'équivalence

Exemple plus simple : tu prends toutes les personnes du monde et tu leur mets la relation d'équivalence :
X R Y <==> X et Y sont de même sexe.

Tu obtiens deux classes d'équivalence, à l'intérieur desquelles tous les individus ont le même sexe : celle des hommes et celles des femmes.

A n'en pas douter, à travers cette relation d'équivalence, rvz et moi ne serions pas dans la même classe

[invite6b1e2c2e]

Exemple plus simple : tu prends toutes les personnes du monde et tu leur mets la relation d'équivalence :
X R Y <==> X et Y sont de même sexe.

Tu obtiens deux classes d'équivalence, à l'intérieur desquelles tous les individus ont le même sexe : celle des hommes et celles des femmes.

A n'en pas douter, à travers cette relation d'équivalence, rvz et moi ne serions pas dans la même classe

Tu oublies évidemment les hermaphrodites sinon ça complique tout, n'est ce pas Guyem ?

__
rvz, comme quoi, c'est vrai que ça peut être dur les classes d'équivalence...

[Bleyblue]

merci bien pour vos explications

Je suis un peu fatigué la donc je relirai ça bien à l'aise demain matin

[Bleyblue]

Ok ça m'aide à comprendre ce que vous dites la.

Sinon je ne comprends pas bien le sens de la dernière phrase de Guyem mais, en tout cas, s'il y a des hermaphrodites dans l'histoire, il n'y a pas de partition donc la relation n'est pas une relation d'équivalence

Je me trompe ?

merci

[Bleyblue]

Bon pour montrer que la relation est une équivalence ça va.
Mais comment vous faites pour trouver les classes ?

C'est abominable, comment pourrais-je bien deviner quels sont les nombres a et b tels que a.c = b.c ?

Si c est inversible c'est facile mais si c ne l'est pas alors j'ai :

a.c = b.c avec c appartenant à {2,3,4,6,8,9,10}
Je ne sais rien déduire de ça quand même ...

merci

[Bleyblue]

Il ne faut quand même pas que j'essaie de donner toutes les valeurs possibles à c et puis de la déduire toutes les couples de valeurs (a,b) qui satisfont la relation ?
Ca serait trop long ...

merci

[invite6de5f0ac]

Il ne faut quand même pas que j'essaie de donner toutes les valeurs possibles à c et puis de la déduire toutes les couples de valeurs (a,b) qui satisfont la relation ?
Ca serait trop long ...

merci

Bonjour,

Bin si. Tu peux profiter de la factorisation de c, mais tu n'échapperas pas à une fastidieuse énumération. C'est triste, hein?

-- françois

[invite7863222222222]

Vous êtes sur que c'est une relation d'équivalence ?

Je ne sais pas si la transivité est assurée.

Ex : on a 7 R 4 et 4 R 2, pourtant on a pas 7 R 2.

Y'a quelque chose qui m'échappe ?

[invitec314d025]

Y'a quelque chose qui m'échappe ?

Non, tu as raison.
On pourrait aussi prendre : 1 R 2, 2 R 6, mais on a pas 1 R 6

[invite8b04eba7]

Du coup on peut poser le petit exo suivant :

Soit A un anneau commutatif ; on définit la relation R par aRb ssi a-b est un diviseur de zéro. Dans quels cas est-ce une relation d'équivalence ?

[invitec314d025]

Intéressant. Surtout qu'il n'est pas nécessaire que l'anneau soit intègre pour avoir une relation d'équivalence.

[invite7863222222222]

On pourrait aussi prendre : 1 R 2

A-t-on 1 R 2 ? Si je comprends bien, si c'était le cas, d'après la définition de la relation, on aurait un c de 0 < c < 12 tel que c = 0.

[invitec314d025]

On pourrait aussi prendre : 1 R 2

A-t-on 1 R 2 ? Si je comprends bien, si c'était le cas, d'après la définition de la relation, on aurait un c de 0 < c < 12 tel que c = 0.

Laisse tomber, j'étais à la masse

[invite8b04eba7]

Un restricton au petit exo pour ceux qui n'auraient pas trop d'idée : traiter le cas A = Z/nZ.

[indic : quels sont les diviseurs de zéro dans Z/nZ ?]

[Bleyblue]

Ah eh bien c'est même pas une relation d'équivalence en fait.
Je me suis vraiment attaqué à cet exercice comme un imbécile

enfin, merci

[invite7863222222222]

Les diviseurs de 0 dans Z/nZ ce sont les diviseurs de n. Et ?

[invite8b04eba7]

Les diviseurs de 0 dans Z/nZ ce sont les diviseurs de n. Et ?

C'est pas tout-à-fait vrai.

Pour la suite : que dois vérifier l'ensemble des diviseurs de zéro dans un anneau où R est une relation d'équivalence ?

[invite7863222222222]

oui en fait ils doivent etre un multiple de kn ou k appartient Z je pense.

sinon je ne vois pas du tout désolé .

[invite7863222222222]

C'est pas tout-à-fait vrai

Non je m'embrouille, je dois pas avoir les bonnes définitions.

[invitec314d025]

Bah, ce n'est pas compliqué. Un indice : 1 n'est jamais diviseur de 0 dans Z/nZ.

[invite7863222222222]

Désolé ca me fait rager mais je ne vois pas...

[invitec314d025]

Bon alors deuxième indice :
dans Z/12Z, les diviseurs de 0 sont 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10