Relation d'équivalence sur un anneau

[invite7863222222222]

Bon, il ne doit pas avoir 3 diviseurs de zero consécutifs mais ca m'étonnerais que ca ca soit le résultat.
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[matthias]

Regarde plutôt du côté du pgcd avec n

[invite7863222222222]

matthias, désolé mais je vois pas du tout. Je donne ma langue au chat.

[matthias]

Plus précisément : pour a non diviseur de 0, quel est le pgcd de a et n ?

[invite7863222222222]

j'ai répondu dsl...

[invite6de5f0ac]

Les diviseurs de 0 dans Z/nZ ce sont les diviseurs de n. Et ?

Bonsoir,

Vu le nombre de réponses, je ne pense pas (plus) que ce soit un spoiler que de dire, ce sont les éléments premiers avec n?

-- françois

[invite7863222222222]

Pourquoi ? par exemple 8 et 12 ne sont pas premiers entre eux.

Sinon le pgcd entre a et n avec a non diviseurs de zeros, c'est 1 ?

[invite6de5f0ac]

Pourquoi ? par exemple 8 et 12 ne sont pas premiers entre eux.

Sinon le pgcd entre a et n avec a non diviseurs de zeros, c'est 1 ?

Zutre. J'ai inversé la question... Vu l'heure je vais me pieuter, je reverrai ça demain.

-- françois

[matthias]

Pourquoi ? par exemple 8 et 12 ne sont pas premiers entre eux.

Sinon le pgcd entre a et n avec a non diviseurs de zeros, c'est 1 ?

Justement, 8 et 12 ne sont pas premiers entre eux, et 8 est un diviseur de 0 dans Z/12Z
Dire que le pgcd de a et n vaut 1, c'est dire que a est premier avec n.
Ca se tient
Mais faudra attendre demain pour la démo ...

[invite7863222222222]

Je trouve comme condition :

si R est une relation d'équivalence ssi les différences des différents diviseurs de 0 (qui sont effectivement les nombres non premiers avec n) sont elles aussi des diviseurs de zeros.

Notamment, on ne doit pas avoir de nombres non premiers avec n dont la différence fasse 1 car 1 n'est jamais un diviseur de 0.

Par exemple, sur Z/6Z la relation n'est pas une relation d'équivalence car on 2 et 3, nombres non premier avec 6 se suivent ainsi : on a 3 R 0 et 0 R 2 mais pas 3 R 2 (pareil pour Z/12Z).

Sur Z/8Z, on a une relation d'équivalence puisque les diviseurs sont 0 2 4 6.

Voici les classes d'équivalence :
R(0) = {0}
R(1) = R(3) = R(5) = R(7) = {1;3;5;7}
R(2) = R(4) = R(6) = {2;4;6}

Sur Z/pZ, ou p premier, on a tjrs une relation d'équivalence puisque de toute facon, on a pas diviseur de 0.

Pour la démonstration que les diviseurs sont les nombres non premiers avec n, j'ai vu l'identité de bezout mais je n'ai pas bien compris la démonstration...

[invite8b04eba7]

Voilà. Maintenant jreeman, essaie de démontrer que les seuls n qui conviennent sont de la forme p^r (où p est un nombre premier).

Ensuite je te propose de chercher aussi un exemple d'anneau infini non intègre qui vérifiera la propriété (tu peux chercher par exemple parmi les sous-anneaux de M_n(K)).

[Indic : l'ensemble des diviseurs de zéro doit en fait être un sous-groupe pour la structure additive]

[invite7863222222222]

Ok mais doudache cet exercice de ton imagination vien de ton imagination ?

En fait, juste une petite remarque, si a et b sont deux diviseurs de zero on a apparemment :

si (a - b) est un diviseur de zéros alors (a + b) aussi
si (a - b) n'est pas un diviseur de zeros alors, (a + b) non plus.

J'ai trouvé cela assez bizarre en fait, ca se démontre peut être quand on a trouvé que n doit etre de la forme p^r ?

Sinon, pour l'anneau infini, juste pour me fixer les idées, un sous-anneaux de M_n(K) est fini, non ?

Je ne promets pas de résoudre ca aujourd'hui quand même .

[Bleyblue]

J'ai une petite question (sans rapport avec votre discussion) :

Si je partitionne l'ensemble selon la valeur qu'une fonction attribue à 7 j'ai une relation d'équivalence :

f(x) ~ g(x) <==> f(7) = g(7)

mais quelles sont alors les classes d'équivalences ?
Il y en a une infinité non dénombrable (autant de classes que de nombres réels) mais comment est-ce que je note ça ?

{}

ça va ça ?

merci

[invite8b04eba7]

Ok mais doudache cet exercice de ton imagination vien de ton imagination ?

Oui, mais c'est juste l'extension naturelle de l'exercice.

Attention, ça va spoiler :

Pour les remarques générales, la relation R est une relation réflexive et symétrique. Il manque la transitivité. Si on note D l'ensemble des diviseurs de zéros, alors la transitivité équivaut à

Donc clairement, les anneaux dans lesquels la relation est une relation équivalente sont ceux dans lesquels D est un sous-groupe (c'est juste une traduction algébrique de ce que l'on cherche). En fait c'est même un idéal.

Appliqué au cas Z/nZ, il n'est pas dur de voir qu'il ne peut pas y avoir deux nombres premiers différents qui divisent n (par exemple, si p et q sont les deux plus petits nombres premiers intervennant dans la décomposition de n, p+q ne doit pas être premier avec n, ce qui est impossible). De plus, l'ensemble des diviseurs de zéros de Z/p^rZ est l'ensemble des pm, donc l'application

est un morphisme de groupes surjectif de noyau p^r-1 Z / p^rz (autant dire Z/pZ). Donc au final D est un groupe cyclique de cardinal p^r-1.

En ce qui concerne des exemples faciles d'anneaux où D est un groupe, il suffit par exemple de trouver des anneaux où D = {0} ou A. Dans le premier cas, l'anneaux est intègre, dans le deuxième, on peut prendre un anneau dont tous les éléments sont nilpotents (par exemple les matrices triangulaires supérieures strictes).

Du coup, on peut construire explicitement (i.e. pas en prenant un anneau construit avec générateurs et relations), pour tout groupe abélien G, un anneau dans lequel G est le groupe des diviseurs de zéro. Sachant que l'on sait le faire pour un groupe cyclique de cardinal p^s et pour Z (en prenant les matrices triangulaires supérieures strictes de taille 2x2) ce n'est pas très dur.

En ce qui concerne la caractérisation de tels anneaux, je n'ai pas trop d'idées. On peut déjà faire la remarque suivante : D est un idéal, alors A/D est un anneau mais on ne peut rien dire d'évident sur lui (l'idéal D n'est pas forcément premier).

[invite7863222222222]

Si on note D l'ensemble des diviseurs de zéros, alors la transitivité équivaut à

Donc clairement, les anneaux dans lesquels la relation est une relation équivalente sont ceux dans lesquels D est un sous-groupe (c'est juste une traduction algébrique de ce que l'on cherche).
...

Oui sauf que tu supposes l'existance d'un b communs à tous les diviseurs de zeros.

Je pense qu'il faut rajouter que ce b existe est qu'il vaut 0...

[invite7863222222222]

Juste je me permets de remarquer une chose bizarre :

par exemple, sur Z/12Z :

diviseur de 0 : 2 3 4 6 8 9 10

4 + 3 n'est pas un diviseur de 0
4 - 3 non plus,

4 - 2 est un diviseur de 0
4 + 2 aussi

8 - 3 n'est pas un diviseur de 0
8 + 3 non plus

etc...

Franchement je trouve ca assez magique...

[invite8b04eba7]

C'est vrai que c'est bizarre...
En tout cas ça ne marche pas pour tous les anneaux : par exemple, dans Z/30Z, 2,3 et 2+3=5 sont des diviseurs de zéro mais pas 3-2.

[Bleyblue]

Personne n'a une idée à propos de mon problème de fonctions ?

merci

[invite7863222222222]

Perso je comprends pas bien la question, , c'est l'ensemble des fonction de R dans R ?

[invite6de5f0ac]

Perso je comprends pas bien la question, , c'est l'ensemble des fonction de R dans R ?

Bonjour,

Normalement oui, plus précisément l'ensemble des applications de R vers R. C'est la notation "ensembliste" usuelle, B^A pour l'ensemble des applications de A vers B.

Pour Bleyblue, ta réponse est bonne, il y a autant de classes d'équivalence que de valeurs possibles de f(x₀) (pourquoi spécialement x₀=7? )

Mais ce qui est plus marrant, c'est les classes d'équivalence de fonctions, f~g s'il existe un voisinage (disons de l'origine pour fixer les idées) telles que f=g sur ce voisinage (fonctions "localement égales", avec plein de guillemets). Et on peut exiger pareil des dérivées à l'ordre qu'on veut.

-- françois

[Bleyblue]

Normalement oui, plus précisément l'ensemble des applications de R vers R. C'est la notation "ensembliste" usuelle, BA pour l'ensemble des applications de A vers B.

Oui c'est exactement ça
(tiens petite précision : Les fonctions de cet ensemble sont bien définies sur tout le domaine A n'est ce pas ? Par exemple f(x) = log(x) ne fait pas partie de l'ensemble vu que f n'est définie que pour x > 0)

pourquoi spécialement x0=7?

Parceque cet exercice est inspiré d'un autre exercice qui se trouve dans mes notes de cours et où il est demandé de vérifier que la relation est bien une équivalence. Moi j'ai essayé en plus de trouver les classes ...

Mais ce qui est plus marrant, c'est les classes d'équivalence de fonctions, f~g s'il existe un voisinage (disons de l'origine pour fixer les idées) telles que f=g sur ce voisinage (fonctions "localement égales", avec plein de guillemets). Et on peut exiger pareil des dérivées à l'ordre qu'on veut

Ah je vois, ça me rappel les développements de fonctions en série de Taylor ça ...

merci

[Bleyblue]

Encore un petit exercice, le n°1 ici :

http://www.ulb.ac.be/facs/sciences/m...so/sept03d.pdf

R est bien une équivalence mais comment faire pour décrire les classes ?

on a (a,b)R(c,d)

<==> (a + d) = (b + c)

<==> a = b + (c - d)

donc une classe d'équivalence est constituée de tous les couples (a,b) de naturels tels que pour K fixé :

<==> a = b + K (

Il y a donc autant de classes que de nombre entiers (donc un nombre infini dénombrable)

Pensez-vous que cela suffise pour répondre à la première partie de la question (sur l'équivalence) ?

merci

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Une autre manière de dire est que dans chaque classe, il y a un couple (n,0).

__
rvz

[Bleyblue]

Ah oui
Et cette équivalence est utilisée pour définir les nombres entiers (j'ai vu ça en feuilletant un cours d'algèbre)

merci

[invite6de5f0ac]

Ah oui
Et cette équivalence est utilisée pour définir les nombres entiers (j'ai vu ça en feuilletant un cours d'algèbre)

merci

Bonjour,

Ce n'est rien d'autre que la construction classique du groupe Z par symétrisation du semi-groupe N pour l'addition/soustraction.
En faisant pareil à partir de Z mais pour la multiplication/division, on construit Q (son corps des fractions).
Ce genre de construction s'applique à à peu près n'importe quelle structure algébrique pas trop pourrite, en fait il suffit de partir d'une loi associative et commutative. C'est entre autres dans Bourbaki "Structures Algébriques", mais ça se trouve dans n'importe quel bouquin sur les structures algébriques "abstraites".

-- françois

[Bleyblue]

Ah bon, je ne savais pas ça, c'est intéressant.

merci