[Géo. Diff.] Torsion et Courbure non-nuls : géodésique = droite???

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

dans un exo que je fais, on me demande de calculer certaines quantités, pour me faire la main.

Mon problème (s'il en est un, c'est ce que je cherche à savoir), c'est que la connexion affine définie sur me donne un tenseur de torsion non-nul et un tenseur de courbure non-nul, alors que les géodésiques que je trouve sont des droites.

Cela me surprends, et me fait douter de ce que signifie en réalité les concepts de courbure et de torsion.

Si ce qui me surprends ne vous surprends pas, vous seriez gentil de m'expliquer pourquoi. Si ça vous surprend et que vous pensez que mes calculs sont probablement faux, je les ai placés en bas de page.

Merci infiniment,


Simon


Calculs: Soit une connexion affine sur donnée par (symboles de Christoffel) où .

Les géodésiques sont données par



.

Par conséquent,

,

où les constantes et sont les kièmes composantes de la vitesse et de la position au temps . De plus, la torsion est donnée par

,

laquelle n'est pas nulle. Quant à lui, le tenseur de courbure est donné par

.

Comme ne dépend pas des coordonnées, on a simplement



.

Utilisant , on a




Il n'est pas difficile de montrer qu'il y a 12 composantes non-nulles données par .
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[invite35452583]

Bonjour,
je ne vois aucune erreur dans les calculs.
Je vais tenter d'expliquer sur un autre exemple que l'on peut avoir des géodésiques qui sont des droites mais en ayant de la torsion et de la courbure, en espérant ne pas dire de bétises.

Si tu connais les quadriques tu peux sauter ce passage.
On prend trois droites D1,D2,D3 non coplanaires. Par un point M de D1, il passe une unique droite d sécante au trois premières et passant par M. En effet, le plan <M,D2> coupe D3 en un point N, (MN) convient, et toute autre droite est trivialement la même. Il en est évidemment pour D2 et D3 (mais il faut bien en choisir une pour la construction). On a donc une famile de droites d sécantes à D1,D2 et D3. Parmi elles on en choisit trois d1, d2, d3 et on construit de même une famille de droites D sécantes à ces trois droites (D1,D2,D3 en font partie). Théorème : cette famille D ne dépend que de D1,D2 et D3 pas du choix de d1, d2, d3. Ou autrement dit les droites d sont sécantes à toutes les droites D. La quadrique est l'union des points de ces droites. (Pour en avoir une image : certaines poubelles, généralement en plastique, évasées et trouées en sont des imitations tronquées, j'espère que tu vois de quoi je parle)

On confère à notre quadrique la métrique induite par son plongement dans R^3. Nos familles de droites sont donc des géodésiques. De plus, pour deux points M et N, M est une droite D et N sur une droite d, D et d se coupent. On a donc un chemin formé par deux segments de géodésiques, il a un analogue : M sur d et N sur D (je crois sans en être sur qu'il est effectivement le chemin le plus court)
Nos géodésiques sont des droites mais la torsion s'exprime. Ici, c'est brutal : tout est concentré au point d'intersection de D et d.
Si on forme un triangle (qui ressemblera donc à un hexagone ), la somme des angles ne vaut pas .

Cet exemple n'est pas parfait car d'un point il ne passe que deux géodésiques qui sont des droites. J'ai du mal à me représenter ton espace en question (ça fait un moment que je n'ai pas manipulé des connexions, tenseurs de courbure...) qui est plus impressionnant. Pour voir si mon exemple est pertinent il faudrait regarder si le plus court chemin entre deux points est un segment ou une ligne brisée n'est-elle pas plus efficace (je ne sais plus faire le calcul). A remarquer que les deux sont localement des géodésiques.

[invitea29d1598]

bonjour,

on peut avoir des géodésiques qui sont des droites mais en ayant de la torsion et de la courbure, en espérant ne pas dire de bétises.

même si j'ai galéré sur ton explication de ce qu'est une quadrique [ça ma rappelé ma jeunesse ], je pense l'avoir compris et y'a un truc qui me gène quand tu parles de torsion. Si tu pars de la métrique induite (symétrique, non ?), tu dois en plus préciser quelle connection tu veux. Or, là je trouve pas ça dans ton exemple. J'aurais donc tendance à penser que tu parles de la connection compatible avec la métrique, mais dans ce cas, elle est symétrique aussi (non ?) et y'a donc pas de torsion...

tu aurais une figure ? tu me confirmes que la quadrique ainsi définie correspond à ce que je croyais être une quadrique : http://www.mathcurve.com/surfaces/quadric/quadric.shtml

[invite8ef93ceb]

Merci pour la réponse, que j'avoue ne pas très bien visualiser. Mais, comme j'explique en détail dans le forum de physique, j'ai trouvé ceci:

Summary: Spacetime is flat -- i.e., there exist "flat coordinates" in which everywhere and geodesics are straight lines, -- if and only if .
Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation, p.283 (1973)

Ce qui contredit le résultat que j'ai obtenu.


Cordialement,

Simon

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef93ceb]

Pour les intéressés, la question a été clarifié par Rincevent ici.

Salutations!!

Simon

[invite35452583]

Bonjour Rincevent (et aux autres),
la quadrique que j'ai parlé doit, il me semble, correspondre dans le lien que tu as mis à la quadrique propre réglèe, l'hyperboloïde à une nappe.
Tu as tout à fait raison je me suis mélangé les pinceaux avec la torsion (j'aurais besoin d'une bonne révision là-dessus )
Je lis tes explications dans la partie physique, j'ai à peu près compris le 1er post (rappelons le rôle des parties symétriques et antisymétriques).
Désolé d'avoir finalement écrit une bétise.

Cordialement

[invitea29d1598]

bonjour,

la quadrique que j'ai parlé doit, il me semble, correspondre dans le lien que tu as mis à la quadrique propre réglèe, l'hyperboloïde à une nappe.

merci pour la précision...

j'avais un truc comme ça en tête, mais j'avoue que ton explication comportait trop de droites pour que j'en sois certain sans faire le calcul que je n'avais justement pas le courage de faire