[Géo. Diff] Notation

[Lévesque]

Bonjour,

(Si vous n'êtes pas intéressé par la mise en situation, passez directement à Voilà ma question, plus bas)

Je fais un super calcul pour montrer que (R^i_jkl = composantes du tenseur de courbure)

(A)

Avec beaucoup de travail, j'arrive à



Puisque , j'arrive à ce point où je ne sais plus quoi faire:

(B)

Si on compare (A) et (B), on dirait que je suis sur la bonne voie (voir plus loin où c'est vérifié pour T d'ordre 1). Seulement, je ne comprends pas vraiment quoi faire avec pour T de type (p,q). Je sais que si (mais je ne comprends pas pourquoi!) est de type (1,0), alors on a

,

ce qui, substitué dans (B), donne exactement (A) pour p=1 et q=0. Il semble que je ne soit plus très loin.

Voilà ma question : comment passer de cette notation à cette notation : ? Si je comprends pour un tenseur de type (1,0), je comprendrai pour un tenseur de type (p,q), et j'espère avoir terminé ma preuve.

Je prends tout: mots clés à googliser, références, nom de la notation, tout!

Merci infiniment pour votre aide!

Cordialement,

Simon
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[Lévesque]

Une première piste:

Frankel, The Geometry of physics 2nd ED, p.244 :

Soit , et des vecteurs au point de , et soit , et des extensions de ces vecteurs à des champs vectoriels dans un voisinage U de p. [...] L'assignation

définie une transformation linéaire appelée la transformation de courbure pour la paire ; sa matrice est donnée par .

[Lévesque]

Je pense que le mieux est d'utiliser le calcul de Cartan. Voilà pourquoi j'ai ouvert une discussion à ce sujet, mais j'ai peur que la matière ne soit pas très connue...

[Rincevent]

Voilà ma question : comment passer de cette notation à cette notation : ?

je vois pas trop ce qui te dérange... R(X,Y) est par définition un truc multilinéaire qui à un couple de vecteurs (X,Y) va associer un opérateur agissant sur l'espace des vecteurs. Un opérateur "est" un tenseur (1,1). Pour X et Y donnés, on peut donc écrire R(X,Y) sous la forme



Si tu fais agir cette bête là sur un vecteur T, tu as donc un vecteur



Mais de manière plus générale (X et Y variables), avant de faire agir ton R, tu as donc une 2-forme à valeurs dans l'espace des opérateurs (ou tenseurs (1,1)) : à une paire de vecteurs (X,Y) on associe un opérateur. Ceci étant valable pour tous vecteurs X et Y et de manière linéaire, tu peux t'amuser à écrire les composantes de cette 2-forme (ou de ce tenseur 2 fois covariants) sur une base de coordonnées. Tu décomposes donc

avec


qui est un opérateur qu'on n'a pas écrit de façon développée pour ce qui est de décrire son action. Si tu mets tout ça ensemble, tu as ce que tu veux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lévesque]

je vois pas trop ce qui te dérange...

Rien ne me dérangeais, mais c'est pas tout clair la première fois qu'on vois ça...

R(X,Y) est par définition un truc multilinéaire qui à un couple de vecteurs (X,Y) va associer un opérateur agissant sur l'espace des vecteurs

Je savais pas...

En gros, j'ai compris ce que la bête donnait comme rejetons lorsqu'elle s'accouplais avec une vache v de type (1,0) (un vecteur). Comme tu dis, est quelque chose comme un opérateur qui agit dans l'espace des vecteurs.

Mais, moi, j'arrive à une équation (cf éq. (B) du premier post) où agit sur un tenseur de type (p,q). Si je veux développer en composante, je dois savoir sous quelle règle ce agit sur T.

J'avais pensé remplacer R par la "curvature form", c'est pour ça que je plonge dans le Cartan. Mais, en tout cas, je sais que ça s'apprend pas en une après-midi (oh, on est le soir, déjà , faudrait que je mange)

Cordialement,

Simon

[Rincevent]

Rien ne me dérangeais, mais c'est pas tout clair la première fois qu'on vois ça...

j'ai jamais dit le contraire

je savais pas

c'est pourtant ce que dit ce que tu as écrit à coups de commutateurs...

Mais, moi, j'arrive à une équation (cf éq. (B) du premier post) où agit sur un tenseur de type (p,q).

je dois avouer que j'avais pas regardé tout ça car ça faisait trop peur toutes tes équations

le hic dans ce que tu fais, c'est que la courbure est définie pour une connexion donnée. Mais une connexion c'est un truc qui agit dans un espace vectoriel. Donc si tu veux calculer "l'action de la courbure sur un tenseur quelconque", il faut dans un premier temps que tu oublies que ton tenseur est un tenseur et que tu le considères comme un vecteur sur un espace de dimension n(p+q). Tu as donc à définir une connexion telle que (j'écris symboliquement)

. Si tu veux que cette connexion soit "compatible" avec celle définie sur un espace vectoriel de départ, tu peux montrer que ses coefficients doivent prendre les valeurs usuelles faisant intervenir plein de permutation de Christoffel. Mais c'est de tout ce machin (cette connexion) que tu dois ensuite calculer la courbure [qui est donc un opérateur agissant sur certains vecteurs de l'espace de dimension n(p+q)] à l'aide de commutateurs...

bref, c'est pas joli joli et je dirais pas super utile non plus... tu es vraiment obligé de calculer ça ?

[Rincevent]

la prochaine fois je lirai ta question de près [même si elle fait peur ] avant de répondre

j'ai réalisé en allant manger qu'il y avait dû y avoir un malentendu entre nous... et c'est bien ça. Le problème dans ce que tu écris, c'est quand tu dis

Puisque ,

Pour une connexion donnée (définie sur un espace de dimension n), cette égalité est vraie par définition si ton T est un vecteur vivant dans l'espace sur lequel agit la connexion. Si ton T est un tenseur, il faut qu'elle soit écrite avec la courbure de la connexion définie sur l'espace où vit T considéré comme un espace vectoriel de dimension n(p+q).

En clair, pour faire le calcul que tu veux faire, faut juste que tu écrives la dérivée covariante à l'aide des Christoffel et que tu déroules la machine sans te perdre dans les indices tu verras alors apparaître les coefficients de la courbure de la connexion comme combinaisons des Christoffel.

[Lévesque]

En clair, pour faire le calcul que tu veux faire, faut juste que tu écrives la dérivée covariante à l'aide des Christoffel et que tu déroules la machine sans te perdre dans les indices tu verras alors apparaître les coefficients de la courbure de la connexion comme combinaisons des Christoffel.

IIIIIiiiiiiark! J'ai pas le choix de travailler avec tout ce paquet d'indices?

Je sais pas si tu sais, mais je dois faire l'expansion de 4 ou 5 termes en 4 ou 5 terme, i.e. 20 à 25 termes, qui font chacun près de 3 centimètre sur mon écran

Mais bon, ce sera pas difficile, seulement laborieux. J'espèrais seulement être assez ingénieux pour m'éviter ça

Merci en tout cas, j'aimerais t'avoir comme coloc

Ciao,

Simon

[Lévesque]

bref, c'est pas joli joli et je dirais pas super utile non plus... tu es vraiment obligé de calculer ça ?

Non, c'est un devoir, mais l'assistante a dit de le faire par induction. J'aime pas trop l'induction, je suis pas fière quand je l'utilise (quoi que des fois, on a pas lchoix). Hey que je me complique la vie (je réalise ça toujours deux jours plus tard...)

Si je les indices m'induisent en erreur, alors l'induction sera ma solution.

[Lévesque]

En clair, pour faire le calcul que tu veux faire, faut juste que tu écrives la dérivée covariante à l'aide des Christoffel et que tu déroules la machine sans te perdre dans les indices tu verras alors apparaître les coefficients de la courbure de la connexion comme combinaisons des Christoffel.

Ouf, après une nuit sans dormir, j'ai fini! Jai du introduire un notation spéciale puisque sinon ça aurait fait surement 30 pages (quoi que là ça en fait quand même presque 10 ).

Si tu veux voir, juste pour rire, j'ai mis le calcul ici. Le truc à démontrer suppose que la torsion est nulle, mais moi j'ai trouvé ce que ça donnerait avec torsion non-nulle (on retrouve le résultat demandé en imposant Gamma symétrique).

Le calcul commence à la section .2 Notation, ce qui vient avant est déjà dans ce post (ou un autre je sais plus...).

ciao ciao et merci des conseils!

Simon

[Rincevent]

j'ai pas vérifié ton calcul, mais en tous cas une chose est sûre : perso j'aurais jamais tapé tout ça en latex sans y être forcé

[Lévesque]

j'ai pas vérifié ton calcul, mais en tous cas une chose est sûre : perso j'aurais jamais tapé tout ça en latex sans y être forcé

tu crois que j'ai tapé ça en code

J'ai scientifc workplace (un prof de l'unige m'a donné son ancienne version )

Alors, avec 7-8 shortcut, je remplie un page assez vite! Au moins 3 fois plus vite qu'à la main en tout cas, et en faisant au moins 10 moins moins d'erreur de copiage ( copie-colle )

Et pour les messages sur le forum, je copie, et je paste en unformated text, en trois minute je mets assez de text dans une page pour avoir l'air d'un cinglé..., mais bon, ça fait des messages plus clairs je crois en général...

[Rincevent]

tu crois que j'ai tapé ça en code

bah désolé, j'suis de la vieille école moi

à mon époque Latex c'était sous Linux et tous les trucs userfriendly étaient plutôt sous Windows et incapables de gérer des équations

J'ai scientifc workplace (un prof de l'unige m'a donné son ancienne version )

faudra que je me renseigne, je sens qu'il y a une piste intéressante pour gagner du temps là....

mais bon, ça fait des messages plus clairs je crois en général...

euh... tu t'aventures têt un peu là : suis pas certain que tes messages semblent très clairs à beaucoup de gens quand tu alignes les lignes d'équations bourrées de composantes de tenseurs...

tu me rappellerais presque quelqu'un qui est allé à Bruxelles faire une demande de financement européen pour un réseau scientifique et qui n'a pas trouvé mieux pour essayer de convaincre les administratifs de l'utilité du truc que de leur balancer (pendant la présentation orale qu'il avait à faire) UNE équation qui tenait sur TROIS transparents (véridique!) et de pointer UN terme de la seconde page en disant "c'est celui-ci qu'on veut trouver".... c'est un très grand physicien, mais niveau comm', il peut repasser

[Lévesque]

faudra que je me renseigne, je sens qu'il y a une piste intéressante pour gagner du temps là....

Ça fonctionne avec Maple. Tu écris comme dans un traitement de texte tes équations (ctrl.g +a = alpha etc...) et ça fait des belles présentations (directement en .tex). Mais en plus, si t'écris, par exemple, racine d'un gros truc, tu clique avec le bouton de droit, tu lui demande de te donner la série pour 3 termes, et pouf, il la calcule et te donne la réponse toute formatée (en fait, ça fait tout ce que Maple fait, mais directement dans le traitement de texte, + des pages web...tout)! Les nouvelles versions font aussi des animations graphiques sur document. Mais c'est très cher, et j'ai essayer de trouver piraté, pas possible...

euh... tu t'aventures têt un peu là : suis pas certain que tes messages semblent très clairs à beaucoup de gens quand tu alignes les lignes d'équations bourrées de composantes de tenseurs...

Je me suis mal exprimé, je ne voulais pas dire que mes messages plein d'équations seraient plus clairs pour l'ensemble des visiteurs, mais qu'il serait plus clair pour qui entreprendrait sérieusement de m'aider.

Disons, je voulais plutôt dire que c'est pratique. Je fait mes travaux, et si j'ai des questions, j'ai pas besoin de tout taper, je copie et je colle sur futura directement de mon espace de travail, sans le moindre effort!

tu me rappellerais presque quelqu'un qui est allé à Bruxelles...

J'essai de m'imaginer demander à un prof de m'aider à résoudre une équation sans lui montrer... C'est dans ce sens que "c'est plus clair", non?