Bonjour,
je traverse une série de définitions, dont l'une est le germe et l'autre le germe d'une fonction. Je vous montre (si vous etes familier, lire seulement les deux définitions) :
Voilà. J'aimerais bien un exemple assez simple de germe, et de germe de fonction. Après je pourrai garder cet exemple en tête pour m'aider à me rappeler ce qu'est un germe... parce que là j'ai de la difficulté à comprendre ce qui suit dans mon livre si je ne comprends pas au moins ça...Avant de définir l'espace tangent, introduisons quelque concepts de base. Considérons deux variétés M et N, et l'ensemble des applications différentiables {ϕ | ϕ:U_{p}→N pour un voisinage U_{p}⊂M de p∈M}. De telles applications ϕ, ψ sont dites équivalentes, ϕ∼ψ, si et seulement si il existe un voisinage V de p tel que ϕ|_{V}=ψ|_{V} (ϕ|_{V} dénote la restriction de ϕ au domaine V). En d'autres mots, ϕ et ψ sont équivalentes si elles coïncident dans un domaine V de p. Appelons (R) une telle relation d'équivalence.
Définition (germe) : Une classe d'équivalence de (R) s'appelle un germe d'une application M→N autour du point p∈M.
En d'autres mots, deux fonctions ϕ et ψ sur V et différentiables en x ont le même germe en x s'il existe un voisinage de x où elles coïncident. Nous désignons un tel germe, qui est représenté par une application ϕ, par ϕ: (M,p)→N ou ϕ: (M,p)→(N,q), où q=ϕ(p). La composition des germes est définie naturellement par les fonction représentantes.
La classe d'équivalence des fonctions différentiables en x qui ont le même germe qu'une fonction ϕ est appelée un germe de ϕ :
Définition (germe de fonction) : Un germe de fonction f est un germe f: (M,p)→(ℝ,0). Nous désignons l'ensemble de tous les germes de fonction au point p∈M par F_{M}(p).
L'ensemble F_{M}(p) a la structure d'une algèbre réelle pourvu que les opérations soient définies en utilisant les représentants. Un germe différentiable ϕ: (M,p)→(N,q) définit, par la composition, un homomorphisme ϕ^{★} des algèbres F_{N}(p) et F_{M}(p):
ϕ^{★}:F_{N}(q)→F_{M}(p):f↦ f∘ϕ
De façon évidente, nous avons que 1^{★}=1 et (ψ∘ϕ)^{★}=ϕ^{★}∘ψ^{★}. En particulier, si ϕ représente un germe inversible, alors ϕ∘ϕ⁻¹=1, et alors
ϕ^{★}∘(ϕ⁻¹)^{★}=1 ou (ϕ⁻¹)^{★}=(ϕ^{★})⁻¹
c'est-à-dire que ϕ^{★} est un isomorphisme.
N. Straumann, General Relativity with..., Springer (2004)
Merci beaucoup!
Simon
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