[Géo. Diff] Germe à cultiver

**Lévesque** · 12/04/2006, 19h07

Bonjour,

je traverse une série de définitions, dont l'une est le germe et l'autre le germe d'une fonction. Je vous montre (si vous etes familier, lire seulement les deux définitions) :

Avant de définir l'espace tangent, introduisons quelque concepts de base. Considérons deux variétés M et N, et l'ensemble des applications différentiables {ϕ | ϕ:U_{p}→N pour un voisinage U_{p}⊂M de p∈M}. De telles applications ϕ, ψ sont dites équivalentes, ϕ∼ψ, si et seulement si il existe un voisinage V de p tel que ϕ|_{V}=ψ|_{V} (ϕ|_{V} dénote la restriction de ϕ au domaine V). En d'autres mots, ϕ et ψ sont équivalentes si elles coïncident dans un domaine V de p. Appelons (R) une telle relation d'équivalence.

Définition (germe) : Une classe d'équivalence de (R) s'appelle un germe d'une application M→N autour du point p∈M.

En d'autres mots, deux fonctions ϕ et ψ sur V et différentiables en x ont le même germe en x s'il existe un voisinage de x où elles coïncident. Nous désignons un tel germe, qui est représenté par une application ϕ, par ϕ: (M,p)→N ou ϕ: (M,p)→(N,q), où q=ϕ(p). La composition des germes est définie naturellement par les fonction représentantes.
La classe d'équivalence des fonctions différentiables en x qui ont le même germe qu'une fonction ϕ est appelée un germe de ϕ :

Définition (germe de fonction) : Un germe de fonction f est un germe f: (M,p)→(ℝ,0). Nous désignons l'ensemble de tous les germes de fonction au point p∈M par F_{M}(p).

L'ensemble F_{M}(p) a la structure d'une algèbre réelle pourvu que les opérations soient définies en utilisant les représentants. Un germe différentiable ϕ: (M,p)→(N,q) définit, par la composition, un homomorphisme ϕ^{★} des algèbres F_{N}(p) et F_{M}(p):

ϕ^{★}:F_{N}(q)→F_{M}(p):f↦ f∘ϕ

De façon évidente, nous avons que 1^{★}=1 et (ψ∘ϕ)^{★}=ϕ^{★}∘ψ^{★}. En particulier, si ϕ représente un germe inversible, alors ϕ∘ϕ⁻¹=1, et alors

ϕ^{★}∘(ϕ⁻¹)^{★}=1 ou (ϕ⁻¹)^{★}=(ϕ^{★})⁻¹

c'est-à-dire que ϕ^{★} est un isomorphisme.

N. Straumann, General Relativity with..., Springer (2004)

Voilà. J'aimerais bien un exemple assez simple de germe, et de germe de fonction. Après je pourrai garder cet exemple en tête pour m'aider à me rappeler ce qu'est un germe... parce que là j'ai de la difficulté à comprendre ce qui suit dans mon livre si je ne comprends pas au moins ça...

Merci beaucoup!

Simon

**GrisBleu** · 13/04/2006, 01h13

Salut simon

J'ai cru comprendre qu'un germe de fonction en p (ou un germe tout court, un germe de fonction etant un germe tout cour) est l'ensemble des fonctions (de m dans N ou de M dans R) ayant la meme valeur en p ainsi que les memes derivees a un ordre quelconque.
Ca me semble evident le sens
deux fonctions sont dans la meme classe d'equivalence $\text{[math]}$ elles ont memes valeurs et memes derivees a un ordre quelconque.
la reciproqueme semble "vraie" en considerant des ouverts de plus en plus petit et a un moment, si il y a une derivee de differente, ca va se voir

Bref un germe de fonction n'est defini qu'en un point et ne garde des membres de la classe que leur proprietes en ce point, oubliant leurs proprietes ailleurs, meme proche

++

**martini_bird** · 14/04/2006, 12h31

Salut,

deux fonctions de M dans N définissent le même germe en x si elles coïncident sur un ouvert contenant x, aussi petit soit-il. Par exemple, les fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ avec g et h quelconques, sont dans le même germe en 0.

Ainsi l'expression $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est une courbe telle que $\text{[math]}$ ne dépend que des germe de f en a et de $\text{[math]}$ en 0. Sur l'ensemble des germes de courbes, on a donc une relation d'équivalence : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont équivalentes si
$\text{[math]}$
Et celà permet de définir l'espace tangent comme les classes d'équivalence pour cette dernière relation.

___________

Il y a une notion plus faible qui est celle de jet : deux fonctions f et g de M dans N seront dites équivalentes en a si
$\text{[math]}$
Les classes d'équivalence pour cette relation s'appelle l'espace des jets d'ordre r en a, noté $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ .

L'avantage des jets, c'est que l'on peut définir directement les espaces tangents et cotangents comme
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Cordialement.

**Lévesque** · 20/04/2006, 13h46

Merci Wlad et mb. J'étais en vacance dans le sud de la France, alors désolé pour le temps écoulé depuis votre réponse.

Je pense assez bien comprendre ce qu'est un germe, mais quand même je me pose encore quelques questions, et les réponses pouraient m'aider à mieux comprendre.

Je me demande, si je prends un ensemble de fonctions $\text{[math]}$ , lesquels tendent tous vers $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ , est-ce que toutes ces fonctions ont pour germe $\text{[math]}$ ?

Exemple: $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Lorsque $\text{[math]}$ , les deux fonctions se rapprochent de $\text{[math]}$ . (Je pensais à ça sur la plage, à Sète

)

Mais j'ai l'impression que ça ne fonctionne pas dans ce cas, et je ne suis pas certain de voir la subtilité. Par exemple, la classe d'équivalence est définie sur un domaine V (ouvert?). Or, dans l'exemple que je donne, il y a égalité (au sens fort) seulement en x=0 (domaine fermé?).

Donc, dire qu'une fonction a f pour germe serait plus contraignant que de dire qu'elle a f pour limite? (j'utilise plus contraignant, en voulant dire que si f est le germe, alors f est la limite, mais l'inverse n'est pas nécessairement vrai).

Merci!

Simon

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite986312212 · 20/04/2006, 14h17

deux fonctions appartiennent au même germe en x0 s'il existe un intervalle contenant x0 sur lequel elles coïncident. Donc ça ne marche pas pour sin x et x.
Attention: l'intervalle est différent pour chaque paire de fonctions. Si c'était le même la notion aurait beaucoup moins d'intérêt.

**martini_bird** · 20/04/2006, 14h34

Salut,

par contre sin, et tan et id sont dans le même jet (d'ordre 1 en 0).

Cordialement.

**Lévesque** · 20/04/2006, 14h46

Où est-ce que vous trouvez des infos sur ces concepts? Mes livres de physique mathématique (ou de RG) glissent le mot germe entre deux mots comme si c'était un concept trivial...

Aussi, ambrosio, j'aimerais bien que tu développes un peu plus sur l'intervalle différent pour chaque paire de fonctions. Lorsque (dans mon premier message) l'on défini l'ensemble de tous les germes de fonctions au point $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , je ne comprends pas trop ce qu'on veut dire.

$\text{[math]}$ est l'ensemble de plusieurs germes $\text{[math]}$ . Qu'y a-t-il de commun entre les germes de $\text{[math]}$ ? (le voisinage V?, la forme fonctionnelle du germe? etc.) Et qu'y a-t-il de différent (le voisinage V?, la forme fonctionnelle du germe? etc.)

Si ce n'est pas trop demandé, on pourrait illustrer par un exemple?

Merci encore!

Simon

**martini_bird** · 20/04/2006, 14h54

Par exemple, soit $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

f, g, et h sont dans le même germe, mais ne coïncide pas deux à deux sur le même ouvert.

L'ensemble de tous les germes, ça permet de ne se soucier que de ce qui se passe localement autour d'un point. Par exemple, pour le germe en 0 qui contient $\text{[math]}$ , les fonctions de ce germe peuvent faire n'importe quoi pourvu qu'elles valent 1 en 0 et coïncident autour de 0 avec $\text{[math]}$ sur un ouvert aussi petit soit-il.

Je ne sais pas si ça t'aide...

Cordialement.

invite986312212 · 20/04/2006, 15h21

f et g on même germe en x s'il existe un ouvert U contenant x tel que f et g coïncident sur U. U dépend de f et g. Le germe de f en x n'est pas l'ensemble des fonctions qui coïncident sur un certain ouvert contenant x.

**Lévesque** · 20/04/2006, 15h21

Oui, ça m'aide beaucoup.

Seulement quelques précisions... Tu dis "L'ensemble de tous les germes, ça permet de ne se soucier que de ce qui se passe localement autour d'un point.".

Que veux-tu dire par localement? À partir de combien proche du point sommes nous "localement"? Ce qui me fait poser cette question, c'est que dans ton exemple toutes les fonctions ont f pour germe (?) au point p mais, pas toutes dans le même voisinage de p. Par exemple, V=(-1,1) et U=(-2,1/2). Pour qu'on ait à se soucier que de ce qui se passe localement, ne faudrait-il pas que localement signifie dans un voisinage au moins aussi petit que l'intersection de U et V? Parce que dans un voisinage plus grand, il faut se soucier de beaucoup de choses!!

Quand tu dis "sur un ouvert aussi petit soit-il", tu veux dire qu'il faut que ça fonctionne sur un ouvert quelconque (par exemple U et V), mais qu'en plus ça doit fonctionner si l'ouvert est de plus en plus petit, autour du point (par exemple si p=0, U tend vers (0-d,0+d))? Est-ce une condition? Parce que je ne vois pas comment ça ne pourrait pas être vrai. Si g est égale au germe f dans tout U au point p, je ne vois pas comment g pourrait ne pas être encore égale à f si on resserre U sur p...

Merci encore et encore,

Simon

edit: croisement avec ambrosio.

**Lévesque** · 20/04/2006, 15h24

Envoyé par ambrosio

f et g on même germe en x s'il existe un ouvert U contenant x tel que f et g coïncident sur U. U dépend de f et g. Le germe de f en x n'est pas l'ensemble des fonctions qui coïncident sur un certain ouvert contenant x.

Oh, merci... je pense que ma compréhension avance à grand pas (dans mon référentiel, les pas sont grands...)

invite986312212 · 20/04/2006, 15h26

[QUOTE=Lévesque] Quand tu dis "sur un ouvert aussi petit soit-il", tu veux dire qu'il faut que ça fonctionne sur un ouvert quelconque (par exemple U et V), mais qu'en plus ça doit fonctionner si l'ouvert est de plus en plus petit, autour du point (par exemple si p=0, U tend vers (0-d,0+d))? [\QUOTE]

si f et g coïncident sur un ouvert U, elles coïncident sur toute partie de U. Quand tu décris l'ensemble des couples de fonctions f,g du germe, il n'y a pas de borne inférieure pour l'ouvert U (en tout cas pas de telle condition dans la définition).

**Lévesque** · 20/04/2006, 15h47

Mmmm...

$\text{[math]}$ , c'est un ensemble de fonctions (f,g,...).

J'ai besoin de préciser ce que sont ces fonctions. Je viens de réaliser que ce à quoi je pensais ne fait pas beaucoup de sens (et en conséquence les questions que je pose). Je m'explique. Soit f un germe des fonctions $\text{[math]}$ , c'est-à-dire qu'il existe un ouvert U contenant p dans lequel chaque fonction coïncide avec f. Soit g un germe de fonctions $\text{[math]}$ , c'est-à-dire qu'il existe un ouvert V contenant p dans lequel chaque fonction coïncide avec g. Je croyais que $\text{[math]}$ c'était l'ensemble (f,g), par exemple. Mais ça peut être tellement n'importe quoi que je ne vois pas d'intéret à cela.

Je crois comprendre qu'en fait, on a un $\text{[math]}$ qui contient f et tous les $\text{[math]}$ (c'est une classe d'équivalence) et un autre $\text{[math]}$ qui contient g et tous les $\text{[math]}$ .

Il n'y a pas vraiment de rapports entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sauf peut-être p et M...

Suis-je très loin, ou bien ça s'améliore?

Merci à vous deux!

Simon

**Lévesque** · 20/04/2006, 15h51

Ne répondez pas tout de suite... je viens de voir quelque chose que j'avais oublié.

**martini_bird** · 20/04/2006, 15h51

Envoyé par ambrosio

f et g on même germe en x s'il existe un ouvert U contenant x tel que f et g coïncident sur U. U dépend de f et g. Le germe de f en x n'est pas l'ensemble des fonctions qui coïncident sur un certain ouvert contenant x.

Pardon ? J'ai du rater un épisode...

Envoyé par déf - 1er message

En d'autres mots, ϕ et ψ sont équivalentes si elles coïncident dans un domaine V de p. Appelons (R) une telle relation d'équivalence.

Définition (germe) : Une classe d'équivalence de (R) s'appelle un germe d'une application M→N autour du point p∈M.

Un germe est donc une classe d'équivalence, donc un ensemble de fonctions. Or deux fonctions dans le même germe sont par définition deux fonctions équivalentes, donc deux fonctions qui coïncident dans un certain voisinage...

Qu'est ce qui ne va pas dans ce raisonnement ? Merci de m'éclairer...

invite986312212 · 20/04/2006, 16h02

je voulais attirer l'attention de Simon sur le fait que le germe de f n'est pas l'ensemble $\text{[math]}$

**Lévesque** · 20/04/2006, 17h21

Bon, je pense que j'ai pigé.

Je croyais que le germe, c'était une fonction f, et que cette fonction était le germe de plusieurs autres fonctions $\text{[math]}$ . Là, je réalise que par la définition, le germe est un ensemble de fonctions, lesquelles sont toutes équivalentes. Petite question: y a-t-il des propriétés qui restreignent la dimension du germe? i.e. le nombre maximal de fonction équivalentes qu'on peut placer dans le germe? En d'autre mots, y a t-il un germe maximal? En général (dans ce qui m'intéresse en RG, ou en géo diff), on utilise quoi, un germe à dimension fixé ou arbitraire?

Cela dit, ce que mon livre appelle germe de fonction est un ensemble de fonctions équivalentes qui envoient toutes un point $\text{[math]}$ à l'origine dans $\text{[math]}$ . Disons, si j'ai un point P quelconque sur la sphère $\text{[math]}$ , alors un élément du germe doit être une fonction $\text{[math]}$ qui projete P=(x1,...,xn) sur P'=0? Si je trouve un certain nombre de fonctions $\text{[math]}$ équivalentes à $\text{[math]}$ , alors l'ensemble des $\text{[math]}$ forme un germe de fonction?

Si je trouve une autre fonction $\text{[math]}$ qui envoit le même point P en P', puis un ensemble de fonctions $\text{[math]}$ équivalentes à $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ n'étant pas équivalente à $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est un autre germe de fonction? Quelqu'un voit une utilité à cette définition (pourquoi $\text{[math]}$ , pourquoi 0)? (Mon intuition de physicien voit le germe d'une fonction comme une transformation vers un système de coordonnées spécial, genre en chute libre ou au repos, mais peut-être que je me trompe.)

Si je trouve tous les germes $\text{[math]}$ qui envoient P en P', alors l'ensemble des germes est $\text{[math]}$ ?

Il y a des contraintes sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ? Par exemple, pour la sphère, j'imagine qu'il y a une infinité de fonction (k=infini) qui envoient le point P en P' (on peut paramétriser une infinité de trajectoires qui passent par P et P').

Merci, j'espère que j'ai au moins l'air de progresser légèrement...

Cordialement,

Simon

**Lévesque** · 22/04/2006, 10h27

Bonjour,

en passant d'un livre à un autre, je ne suis pas certain que deux objets soient la même chose. Quelqu'un peu m'éclairer?

Je cite: La classe d'équivalence $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ est appelé le germe de f en p. L'ensemble $\text{[math]}$ des germes en p est dénoté $\text{[math]}$ .

Ma question est: est ce que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , cf premier post, sont la même chose (considérant que dans un cas la variété est M et dans l'autre U)?

Si oui, quelqu'un peut m'expliquer un tout petit peu la notation $\text{[math]}$ ?

Merci, (aussi si quelqu'un voit des stupidités dans mon dernier post, se serait gentil de m'avertir

)

Simon

**martini_bird** · 22/04/2006, 10h59

Salut,

J'ai l'impression que tu n'es peut-être pas très au clair avec les ensembles quotient. Je fais un rappel, des fois que ça te serve.

Sur un ensemble X, une relation d'équivalence ~ est une relation binaire, réflexive, symétrique et transitive. Ce qui est important c'est que si x~y alors on va identifier x et y. Pour celà on considère les classes d'équivalence $\text{[math]}$ . Deux éléments équivalents sont donc dans la même classe.
L'ensemble des classes d'équivalence forme ainsi un ensemble, appelé ensemble quotient de X par la relation ~ et noté X/~.
_____

Sinon, je ne vois pas où tu parles de $\text{[math]}$ dans ton premier post, mais l'ensemble des germes n'est pas l'espace tangent.

Pour définit $\text{[math]}$ , on peut faire comme j'ai indiqué au message #3, ou encore considérer l'ensemble des dérivations sur l'ensemble des germes.

Cordialement.

**Lévesque** · 22/04/2006, 11h29

Envoyé par martini_bird

L'ensemble des classes d'équivalence forme ainsi un ensemble, appelé ensemble quotient de X par la relation ~ et noté X/~.

Merci! c'est ce que je voulais savoir.

Sinon, je ne vois pas où tu parles de $\text{[math]}$ dans ton premier post, mais l'ensemble des germes n'est pas l'espace tangent.

J'ai écrit $\text{[math]}$ , pas $\text{[math]}$ . J'ai fait une erreur, je voulais écrire $\text{[math]}$ , qui est bien défini dans mon premier post:

Définition (germe de fonction) : Un germe de fonction f est un germe f: (M,p)→(ℝ,0). Nous désignons l'ensemble de tous les germes de fonction au point p∈M par F_{M}(p).

**martini_bird** · 22/04/2006, 11h40

Envoyé par Lévesque

J'ai écrit $\text{[math]}$ , pas $\text{[math]}$ . J'ai fait une erreur, je voulais écrire $\text{[math]}$ , qui est bien défini dans mon premier post

Ah oui en effet, je n'ai pas fait attention. Dans ce cas, ces ensembles sont bien les mêmes.

Cordialement.

**Lévesque** · 22/04/2006, 14h10

Envoyé par martini_bird

Pour définir $\text{[math]}$ , on peut faire comme j'ai indiqué au message #3, ou encore considérer l'ensemble des dérivations sur l'ensemble des germes.

Justement, j'ai trois définitions de l'espace tangent. Je suis à la compréhension de la définition qui revient à considérer l'ensemble des dérivations sur l'ensemble des germes (qu'on appelle définition algébrique dans mon livre [1]).

Si je comprends bien, l'espace tangent au point $\text{[math]}$ est un ensemble:

$\text{[math]}$ .

Les $\text{[math]}$ sont les dérivations de $\text{[math]}$ au point p.

Je ne suis pas certain de comprendre ce que ça veut dire. $\text{[math]}$ est un ensemble de germes de fonctions (voir au bas du post pour la notation),

$\text{[math]}$

où $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , etc.

C'est quoi "les dérivations de $\text{[math]}$ au point p"?

Si on prend un exemple avec deux germes de fonction $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et deux fonctions par germe, alors

$\text{[math]}$

Alors, $\text{[math]}$ c'est quoi? Combien y a-t-il d'éléments dans $\text{[math]}$ ?

Je ne vois pas trop comment faire sans introduire de coordonnées locales...

Salutations,

Simon

[1] Définition (définition algébrique de l'espace tangent) L'espace tangent $\text{[math]}$ d'une variété différentiable $\text{[math]}$ en un point $\text{[math]}$ est l'ensemble des dérivations de $\text{[math]}$ . Une dérivation de $\text{[math]}$ est une application linéaire $\text{[math]}$ qui satisfait la règle de Leibniz (règle du produit)

$\text{[math]}$

Ici, on note $\text{[math]}$ le germe ayant $\text{[math]}$ pour représentant.
Source: N. Straumann, General Relativity with... Springer (2004) p.536

**Lévesque** · 22/04/2006, 23h00

Je me construit un exempe pour comprendre. Je ne veux pas en demander trop, mais je pense que si je réussi à comprendre ça pourra servir à quelqu'un d'autre un jour...

Prenons la sphère $\text{[math]}$ . Un champ vectoriel quelconque sur celle-ci s'écrit:

$\text{[math]}$

où $\text{[math]}$ .

Pour simplifier, je considère le champ vectoriel (de longueur 1) perpendiculaire aux méridiens :

$\text{[math]}$ (1)

Si je comprends bien, le $\text{[math]}$ de l'équation (1) est un élément de l'espace vectoriel des dérivations sur $\text{[math]}$ au point p.

(?) L'espace tangent complet au point p est généré en multipliant X par une constante réelle? Par conséquent, l'espace tangent au point p sur un méridien est la droite paramétrisée par d(t) = t X?

Si on prend pour exemple le point p=(0,0,1) sur le méridien (demi-cercle) ayant pour équation $\text{[math]}$ , l'ensemble des éléments de l'espace tangent à p se retrouvent (si je comprends bien) sur la droite d(t)=t(cos(0),0,-sin(0)) (voir figure).

Une chose m'échappe encore. Le $\text{[math]}$ de l'équation (1) est un élément de l'espace vectoriel des dérivations sur $\text{[math]}$ au point p. Or, $\text{[math]}$ est un ensemble de germes, i.e. un ensemble d'ensemble de fonctions.

(?) J'ai de la difficulté à voir en quoi $\text{[math]}$ est une dérivation sur $\text{[math]}$ . Quelqu'un pourrait-il m'éclairer? C'est possible de donner explicitement $\text{[math]}$ ?

Salutations,

Simon

*Définition (définition algébrique de l'espace tangent) L'espace tangent $\text{[math]}$ d'une variété différentiable $\text{[math]}$ en un point $\text{[math]}$ est l'ensemble des dérivations de $\text{[math]}$ . Une dérivation de $\text{[math]}$ est une application linéaire $\text{[math]}$ qui satisfait la règle de Leibniz (règle du produit)

$\text{[math]}$

Ici, on note $\text{[math]}$ le germe ayant $\text{[math]}$ pour représentant.
Source: N. Straumann, General Relativity with... Springer (2004) p.536

**martini_bird** · 23/04/2006, 13h11

Salut,

tout d'abord, il faut garder en tête que l'espace tangent doit être un espace vectoriel - c'est l'espace des vecturs tangents - de même dimension que la variété (sauf aux points singuliers mais c'est une autre histoire) : l'espace tangent à la sphère au point (0, 0, 1) est donc un plan.

En prenant une dérivation particulière, tu as vu que tu n'obtiens qu'une droite. Tu obtiens en fait tous les vecteurs tangents au méridien, mais en fait tu aurait pu prendre n'importe quelle courbe pourvu qu'elle soit dans le même germe que le méridien au point (0, 0, 1). (Voir figure 1 : la courbe jaune est dans le même germe que le méridien en rouge) C'est bien l'idée que le vecteur tangent est une notion strictement locale.
En d'autres termes, le vecteur tangent en un point à une courbe dessinée sur la surface de dépend que du germe de cette courbe.

Alors quel est le lien maintenant avec les dérivations ? Je crois qu'une bonne façon de se représenter les choses et d'utiliser la notion de dérivée directionnelle. Si tu as une fonction $\text{[math]}$ , la dérivée de f en P selon le vecteur $\text{[math]}$ est le nombre défini par

$\text{[math]}$

Donc un vecteur $\text{[math]}$ défini une dérivation $\text{[math]}$ et réciproquement (on peut montrer qu'il y isomorphisme).

Pour revenir à la sphère, je me place en un point différents des pôles pour simplifier (car ton champ de vecteurs $\text{[math]}$ est singulier aux pôles). Ainsi $\text{[math]}$ est une dérivation selon un méridien tandis que $\text{[math]}$ est une dérivation selon un parallèle. Elles correspondent aux deux vecteurs normés et orthogonaux $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sur la deuxième figure. Les combinaisons linéaires des deux forment le plan tangent en P.

J'espère que tu y verras un peu plus clair.

Cordialement.

PS : en tout cas merci : du coup j'ai découvert le module draw de open office et fait mumuse...

**Lévesque** · 23/04/2006, 14h22

Ça m'aide beaucoup, merci encore. Je pose une autre questions, des fois que tu aurais le temps, ou quelqu'un d'autre... Supposons que je prends mon champ définit sur la sphère comme

$\text{[math]}$ .

Je pense que je peux le choisir un peu comme je veux, et puisque j'attribue un vecteur à chaque point de la sphère (tangent aux méridiens) alors j'ai bien un champ vectoriel. Comme tout champ sur la sphère, il aura au moins une singularité. Aussi, mb mentionne que normalement l'espace tangent est une surface, mais mon choix de X donne bien dans ce cas une droite tangente aux méridiens? C'est un champ vectoriel valable? Est-ce qu'on peut dire que c'est un champ tangent à la sphère?

Ce que je souhaite faire, c'est envoyer ce champ vectoriel sur une carte, par la projection stéréographique au pole sud $\text{[math]}$ par exemple. Je ne sais pas trop comment faire. Je pourrais projeter la queue d'un vecteur (le point p de la sphère où ce vecteur est tangent) en utilisant $\text{[math]}$ .

Je voulais de la même façon projeter la tête du vecteur (le point t=p+X(p)) où X(p) est le vecteur tangent en p) avec $\text{[math]}$ . Mais j'éprouve quelques problèmes avec l'inverse de cette projection...

Avant de continuer, j'aurais aimé savoir si c'est la bonne façon de procéder.

Merci!

Simon

PS: vraiment nice tes dessins!! Moi j'utilise mathematica en général, c'est pas mauvais non plus!

**martini_bird** · 23/04/2006, 14h31

Je pense que je peux le choisir un peu comme je veux, et puisque j'attribue un vecteur à chaque point de la sphère (tangent aux méridiens) alors j'ai bien un champ vectoriel. Comme tout champ sur la sphère, il aura au moins une singularité. Aussi, mb mentionne que normalement l'espace tangent est une surface, mais mon choix de X donne bien dans ce cas une droite tangente aux méridiens? C'est un champ vectoriel valable? Est-ce qu'on peut dire que c'est un champ tangent à la sphère?

Un champ de vecteur sur une variété M, c'est la donnée en chaque point x de M d'un vecteur $\text{[math]}$ de l'espace tangent. (En termes plus savants c'est une section du fibré tangent, mais bon je crois pas que tu aies déjà vu les fibrés.)

Cordialement.

**martini_bird** · 23/04/2006, 14h35

Envoyé par Lévesque

Ce que je souhaite faire, c'est envoyer ce champ vectoriel sur une carte, par la projection stéréographique au pole sud $\text{[math]}$ par exemple. Je ne sais pas trop comment faire. Je pourrais projeter la queue d'un vecteur (le point p de la sphère où ce vecteur est tangent) en utilisant $\text{[math]}$ .

Je voulais de la même façon projeter la tête du vecteur (le point t=p+X(p)) où X(p) est le vecteur tangent en p) avec $\text{[math]}$ . Mais j'éprouve quelques problèmes avec l'inverse de cette projection...

Oui tu risques d'avoir du mal car l'extrémité p+X(p) n'est pas sur la sphère ! (et donc pas dans le domaine de définition de $\text{[math]}$ ).

Pourquoi veux-tu projeter le champ sur une carte ?

**Lévesque** · 23/04/2006, 15h23

Envoyé par martini_bird

Oui tu risques d'avoir du mal car l'extrémité p+X(p) n'est pas sur la sphère ! (et donc pas dans le domaine de définition de $\text{[math]}$ ).

Je ne vois pas très bien ce que tu dis... Tu peux m'aider à mieux voir comment le champ est singulier ou pas en un point sur la sphère?

Pourquoi veux-tu projeter le champ sur une carte ?

Je ne sais pas... Plus haut, on a parlé de deux définitions pour l'espace tangent, et donc pour le champ vectoriel. En ce moment, je calcule du n'importe quoi pour essayer de comprendre comment passer d'un point de vue à un autre.

Si j'ai compris, on décrit un champ vectoriel du point de vue algébrique par $\text{[math]}$ +...

L'autre point de vue, c'est celui où l'on définie un vecteur par sa loi de transfo. (Straumann l'appelle l'espace tangent du physicien).

Si je comprends bien, la loi de transfo, c'est un changement de coordonnées. Il faut donc que je décrive ma sphère à l'aide d'au moins deux cartes U et V, étant respectivement obtenues par proj. stéréo. au pôles sud et nord. Normalement (si j'ai bien compris), je devrais pouvoir exprimer mon champ X sur chacun des domaines (j'utilise D pour les dérivés partielles):

X sur U = a1D1+a2D2,
X sur V = b1D1 + b2D2,

où (a1,a2)=J(b1,b2)^T, J la jacobienne. Ma question précédente, un n'importe quoi, visait à améliorer ma compréhension pour trouver les ai et bi à partir du champ X exprimé dans le point de vue algébrique.

Mais au bout du compte, je souhaite seulement exprimer mon champ tangent aux méridiens par une loi de transformation.

Cordialement,

Simon

**martini_bird** · 23/04/2006, 15h38

Je ne vois pas très bien ce que tu dis... Tu peux m'aider à mieux voir comment le champ est singulier ou pas en un point sur la sphère?

Ca n'a rien à voir avec la lissité du champ. Un vecteur tangent a pour origine un point de la sphère mais son extrémité n'est pas sur la sphère, puisque le vecteur est dans le plan tangent.

Un exemple à peine plus simple : considère le champ de vecteur $\text{[math]}$ sur le cercle. Au point P(1,0), le vecteur tangent à pour coordonnées (0,1) et donc le point extrémité p+X(p)=(1,1) n'est pas sur le cercle.

Cordialement.

**martini_bird** · 23/04/2006, 16h03

L'autre point de vue, c'est celui où l'on définie un vecteur par sa loi de transfo. (Straumann l'appelle l'espace tangent du physicien).

Désolé, je ne vois pas bien de quoi tu parles.

[Géo. Diff] Germe à cultiver

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