Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 14 sur 14

Inégalité avec des puissances réelles quelconques



  1. #1
    alphmore

    Inégalité avec des puissances réelles quelconques


    ------

    Bonsoir,

    Voilà je dois démontrer l'inégalité du a. :




    j'ai calculé la dérivée :

    f'( x ) = (1+y)^béta * alpha * (1+x)^alpha-1 - y^béta * alpha * x^alpha-1

    soit :

    f'( x ) = alpha * [(1+y)^béta * (1+x)^alpha-1 - y^béta * x^alpha-1]


    Je suis bloqué ensuite.

    -----
    Dernière modification par alphmore ; 20/04/2006 à 19h27.

  2. Publicité
  3. #2
    IceDL

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    Salut,

    Tu n'as plus que le signe de la dérivée à étudier pour pouvoir répondre à la question et tu dois comparer deux produits. Tu peux peut-être utiliser le fait que alpha-1=-bêta.

    En espérant que ça te donne des idées.
    @+

  4. #3
    alphmore

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    Avec toutes tes astuces j'en suis réduit à prouver :

    (1+x)^-b * (1+y)^b plus grand que x^-b * y^b


    (b représente béta)

  5. #4
    IceDL

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    Certes mais tu n'as plus qu'à comparer (1+y)/(1+x) et y/x pour x,y>0

    Etudies la différence,

    @+

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    alphmore

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    Excellent tout ça!
    Merci.

    @+

  8. #6
    alphmore

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    Soucis !!!


    L'étude de la différence donne :

    Soient x,y>0.
    On a g(x)=(1+y)/(1+x) - y/x=(x-y)/(x+x²)

    sgn(g(x)) = sgn(x-y) : non-cst !

    On y arrive pas ainsi !

  9. Publicité
  10. #7
    alphmore

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    En faisant deux cas :

    1er cas x > ou = y : OK

    2ème cas x < y : f'<0 sur R+* donc f strictement décroissante sur l'intervalle R+

    Avec f(0)>0 (car...) : il faut montrer que la limite en +oo de f est positive pour que f soit positive sur R+
    Rappel : y est quelconque dans R+*


    Comment la calculer ?

  11. #8
    IceDL

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    En fait y est quelconque y>0 mais fixé.

    Du coup tu peux dire que f est décroissante sur ]0,y] et croissante sur [y,+oo[ ; elle possède donc un minimum (global) atteint en x=y. Que vaut ce minimum (n'oublie pas que alpha+beta = 1 )

    @+

  12. #9
    alphmore

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    curieux (zut et zut :'(...)

    Je n'utilise pas le a pour la suite !!!

    Le b se démontre facilement sans le a (ou alors je pêche) :

    cas n=1 trivial

    et pour l'hérédité :
    je fais sortir le terme x(n+1)^alpha*y(n+1)^beta de la somme de gauche, je majore en remplaçant le reste en utilisant l'hypothèse de réccurence et ensuite je conclus directement (par excès de termes strictement positifs pour la somme complète)


    Et au c, pas de a non plus :
    On applique le b en posant :

    alpha=1/p
    beta=1/q
    |ak|=xi^alpha
    |bk|=yi^beta



  13. #10
    IceDL

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    Citation Envoyé par alphmore
    curieux (zut et zut :'(...)

    Je n'utilise pas le a pour la suite !!!

    Le b se démontre facilement sans le a (ou alors je pêche) :

    cas n=1 trivial

    et pour l'hérédité :
    je fais sortir le terme x(n+1)^alpha*y(n+1)^beta de la somme de gauche, je majore en remplaçant le reste en utilisant l'hypothèse de réccurence et ensuite je conclus directement (par excès de termes strictement positifs pour la somme complète)


    Et au c, pas de a non plus :
    On applique le b en posant :

    alpha=1/p
    beta=1/q
    |ak|=xi^alpha
    |bk|=yi^beta


    Pour la fin (passer du b) au c) ) je suis tout à fait d' accord ; au passage tu viens de démontrer l'inégalité de Hölder qui permet de mettre pleins de normes interéssantes sur R^n. Et pour l'anecdote ça marche aussi avec des intégrales ; c'est un peu l'analogue de Cauchy-Shwartz en fait.

    Mais pour le b), je suis pas tout à fait sûr de ton passage de n à n+1. Ok tu sors x(n+1)alpha*y(n+1)^beta à gauche mais qu'est ce que tu sors à droite ? Tu est obligé d'utiliser le a) mais avec x et y judicieux. Je te laisse encore chercher...
    @+

  14. #11
    alphmore

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    Ok j'ai réussi.
    Sans rentrer dans les détails j'ai conservé mon travail à gauche et à droite j'ai sorti de chacune des sommes le dernier terme et ensuite j'ai tout divisé par x(n+1)alpha*y(n+1)^beta pour ensuite appliquer le a à x = (somme des x jusqu'à n)/x(n+1) et y = (somme des y jusqu'à n)/y(n+1) et je finis ainsi par minorer mon expression de gauche par l'expression obtenue en partant de la gauche en sortant x(n+1)alpha*y(n+1)^beta et par la magnifique transitivité de la belle relation d'ordre inférieur ou égal, j'obtiens le résultat !


    Merci encore !


    J'ai une question à te poser cependant concernant la démonstration de l'inégalité de Minkowski évoquée sur cette page (avec les sommations) :

    http://www.bibmath.net/dico/index.ph.../h/holder.html

    Je ne comprends pas la dem (ni le passage de la première ligne à la deuxième avec les sommes), ni de quelle manière utiliser Holder pour arriver au résultat !

  15. #12
    alphmore

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    Si jamais la page charge mal ou trop lentement :


  16. Publicité
  17. #13
    martini_bird

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    Salut,

    il faut remplacer les égalités par des inégalités !

    Indices :
    - pour la première ligne : .

    - pour la seconde : (Hölder)

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  18. #14
    alphmore

    Re : Inégalité avec des puissances réelles quelconques

    Ca marche, réussi merci. ^^

Discussions similaires

  1. Norme sur l'ev des suites réelles
    Par feoffrey06 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 28/11/2007, 00h21
  2. Exo avec somme de puissances
    Par Gpadide dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 12
    Dernier message: 29/04/2007, 10h11
  3. Résolution d'une équation avec des puissances 3/2 ...
    Par Nox dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 8
    Dernier message: 07/05/2006, 17h25
  4. equation differencielle avec puissances?
    Par Karine942 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 23/02/2006, 15h54
  5. [TS] Etude de fonctions avec des puissances
    Par Anelor4488 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 35
    Dernier message: 08/02/2006, 22h12