[Géo. Diff] Germe à cultiver

[invite8ef93ceb]

Ok, je comprends bien pour l'extrémité du vecteur. Mais comment tu vois que le champ est singulier aux pôles?

car ton champ de vecteurs est singulier aux pôles

Je pense que ce qui me bloque, c'est que peu importe où est mon vecteur sur la sphère, il aura une longueur 1, et j'interprète "ton champ est singulier" comme "le vecteur a une longueur égale à un point" si je puis dire ainsi (voir ma super image générée avec Mathematica ; les lignes rouges sont les vecteurs à un pôle).
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[invite8ef93ceb]

AAAAAAA... j'ai compris

C'est simple!!! Que je suis bon

[invite8ef93ceb]

Désolé, je ne vois pas bien de quoi tu parles.

Que j'aimerais l'expliquer... Mais bon, je ne comprends pas, alors... Je glisse ici ce que j'ai trouvé (peut-être qu'en essayant d'expliquer je me rapprocherai d'une certaine compréhension):

Un vecteur tangent est un triplet tel que et définissent le même vecteur si . C'est la vieille définition des vecteurs utilisée lorsque la taxinomie des tenseurs est donnée à partir de leur propriétés de transformation: "Un objet est un vecteur s'il se transforme comme un vecteur."

Les points suivant sont des bouts de phrases trouvés dans le livre Analysis, Manifolds and Physics de Choquet et al:
- est la matrice jacobienne de en .
- et représentent le même vecteur dans leur cartes locales respectives.
- La définition que j'ai traduite de Choquet et al est la définition d'un vecteur tangent en terme de sa représentation locale .

Dans le livre de Straumann

Résumons:
Théorème Si on introduit des coordonnées locales dans un voisinage et dans un voisinage de , alors les dérivation et forment des bases des espaces vectoriels et , respectivement. L'application tangente d'un germe est donnée par

respectivement à ces bases.

Nous donnons maintenant la définition du physicien de l'espace tangent qui commence avec le résultat précédent. Brièvement, on dit souvent qu'un vecteur contravariant est un multiplet réel qui se transforme grâce à la matrice jacobienne. On souhaite maintenant exprimer cela plus précisément.
Si et sont des germes de cartes, alors le changement de coordonnées est un germe inversible et différentiable. L'ensemble de tous les germes inversibles de changement de coordonnées forme un groupe G sous la composition. Pour deux germes et il y a exactement un tel que . À chaque on associe la matrice jacobienne à l'origine . Cela définit un homomorphisme

entre G et le groupe linéaire des matrices non-singulières nxn. On peux passer à la définition plus précise.

Définition (définition du physicien de l'espace tangent) Un vecteur tangent en un point est une désignation qui associe un vecteur à chaque germe de carte de façon à avoir une correspondance entre le germe et le vecteur. Ainsi, si on dénote par l'ensemble des germes de cartes , l'espace tangent du physicien est l'ensemble des applications pour lesquelles pour tout .

Voilà. C'est assez lourd pour moi tout ça, mais qui n'a pas la littérature à la maison pourra maintenant consulter les définitions sur le site de Futura!

Sans rire, si quelqu'un voit bien ce que ça veut dire, ce devrait être très simple. En fait, j'ai l'impression de (presque) tout comprendre lorsque je lis les définitions. Mais quand il faut appliquer à un problème concret... je me perds... En gros, si on prend une sphère, il me semble assez simple de donner le champ vectoriel par la somme des dérivés partielles. C'est simple, parce que je suis capable de faire dessiner les vecteurs à un logiciel de calcul symbolique. Mais après, un fois que j'ai ça, si je souhaite exprimer mon champ dans le point de vue du physicien, je fais quoi?



Salutations,

Simon

Réfs en anglais sur physicsforum:
- http://www.physicsforums.com/archive...p/t-47610.html
- http://www.physicsforums.com/archive...p/t-94833.html

Mots clés: Espace tangent, définition du physicien

[invite4793db90]

En fait, je pense comprendre le point de vue : le physicien n'a pas envie de s'embêter avec l'espace des dérivations et voudrait associer directement un vecteur à un point (le fainéant ). Alors on commence à mettre à plat en p la variété à l'aide d'une carte et on voudrait dessiner directement sur (l'image de) la carte.
Il y a lors deux problèmes :
- quelle carte choisir ? => On choisit un germe de cartes.
- le dessin va dépendre de la carte choisie... => Il faut que par changement de carte, le dessin soit cohérent, autrement dit qu'un vecteur de la première carte soit transformer en conséquence dans la seconde. Voir le joli dessin... (A nouveau celà ne dépend que des germes de changement de cartes.)

Mais après, un fois que j'ai ça, si je souhaite exprimer mon champ dans le point de vue du physicien, je fais quoi?

La même chose que tu faisais avant, je pense...

Cordialement.

PS : j'ai pris un tore pour changer ...