Théorème d'Alasia

[kNz]

Bonjour à tous,

J'ai eu connaissance du théorème d'Alasia mais je n'ai pas eu la démo.

Serait-ce possible de l'avoir ?

Merci d'avance
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[GuYem]

Salut, serait-ce possible d'avoir le théorème ? Peut-être c'est intéressant ...

[nissart7831]

Salut, serait-ce possible d'avoir le théorème ? Peut-être c'est intéressant ...

Un petit tour chez wiki ...
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...8me_d%27Alasia

[matthias]

Oui sauf qu'il y a une erreur sur Wikipedia. C'est AB = AC pas AB = BC.
Ils donnent un lien pour la preuve, mais ils semblent considérer bien connu que la droite joignant les deux points de Brocard est orthogonale à la droite joignant le centre du cercle circonscrit et l'intersection des symédianes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kNz]

Oui sauf qu'il y a une erreur sur Wikipedia. C'est AB = AC pas AB = BC.
Ils donnent un lien pour la preuve, mais ils semblent considérer bien connu que la droite joignant les deux points de Brocard est orthogonale à la droite joignant le centre du cercle circonscrit et l'intersection des symédianes.

J'avais justement vu la démo sur le lien de wikipedia, et vu que ceux qui l'ont résolu m'ont sorti des points O et K venus de nulle part, j'me suis dit que j'avais du louper quelque chose

[matthias]

Sinon, ça se démontre relativement bien en utilisant les coordonnées barycentriques des points de Brocard : http://fr.wikipedia.org/wiki/Points_de_Brocard
Mais il faut encore faire la démonstration que les points ont bien ces coordonnées

[nissart7831]

Oui sauf qu'il y a une erreur sur Wikipedia. C'est AB = AC pas AB = BC.

Ah oui, désolé. J'avais pas remarqué l'erreur.
matthias, il faut aller corriger et compléter sur wiki ...
pour que je puisse donner des liens corrects

[invite35452583]

Oui sauf qu'il y a une erreur sur Wikipedia. C'est AB = AC pas AB = BC.
Ils donnent un lien pour la preuve, mais ils semblent considérer bien connu que la droite joignant les deux points de Brocard est orthogonale à la droite joignant le centre du cercle circonscrit et l'intersection des symédianes.

Ce n'est pas ce qu'il y a de plus connu, en effet.
Pour info : on montre que par rapport à O (centre du cercle circonscrit) et K (point symédian ou point de Lemoine), les points de Brocard sont symétriques par rapport à (OK) et les angles sont droits.
Ca peut se montrer en géométrie "pure" grace au cercle de Brocard (qui est le cercle de diamètre OK) et au 1er triangle de Brocard qui est formé par les intersections des parallèles aux côtés passant par K (parallèles de Lemoine) et des médiatrices...

[kNz]

Sinon, ça se démontre relativement bien en utilisant les coordonnées barycentriques des points de Brocard : http://fr.wikipedia.org/wiki/Points_de_Brocard
Mais il faut encore faire la démonstration que les points ont bien ces coordonnées

J'ai fait relativement très peu de choses sur le barycentre (cause : CPE) ...

Un lien ou un p'tit truc pour un approfondissement sur les barycentres ?

on montre que par rapport à O (centre du cercle circonscrit) et K (point symédian ou point de Lemoine), les points de Brocard sont symétriques par rapport à (OK) et les angles sont droits.

Pourquoi montrer que les angles sont droits si l'on montre que les points Brocard sont symétriques par rapport à (OK) ?

Ca m'a pas l'air très facile tout ça, j'vais y réfléchir

Merci en tout cas.

[invite35452583]

J'ai fait relativement très peu de choses sur le barycentre (cause : CPE) ...

Un lien ou un p'tit truc pour un approfondissement sur les barycentres ?



Pourquoi montrer que les angles sont droits si l'on montre que les points Brocard sont symétriques par rapport à (OK) ?

Ca m'a pas l'air très facile tout ça, j'vais y réfléchir

Merci en tout cas.

Ce n'est pas indispensable de montrer que l'angle est droit mais par la voie dont je me rappelle les grandes lignes "ça tombe" en même temps vu le cercle utilisé.

[matthias]

J'ai fait relativement très peu de choses sur le barycentre (cause : CPE) ...

Un lien ou un p'tit truc pour un approfondissement sur les barycentres ?

Si tu as le cours de base (ça par exemple), ça doit suffire. Il n'y a pas de difficulté particulière dans la démonstration.