Le rôle de la Torsion et de la Courbure en RG

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

ce message est presque identique à un autre posté dans la section des maths sup.

Dans un exo que je fais, on me demande de calculer certaines quantités, pour me faire la main.

Mon problème (s'il en est un, c'est ce que je cherche à savoir), c'est que la connexion affine définie sur me donne un tenseur de torsion non-nul et un tenseur de courbure non-nul, alors que les géodésiques que je trouve sont des droites.

Cela me surprends, et me fait douter de ce que signifie en réalité les concepts de courbure et de torsion (et aussi de mon calcul ).

Si ce qui me surprends ne vous surprends pas, vous seriez gentil de m'expliquer pourquoi. Si ça vous surprend et que vous pensez que mes calculs sont probablement faux, je les ai placés ici.

Merci infiniment,


Simon
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[invite8915d466]

Salut Simon

je ne pense pas que ce soit impossible que tes géodésiques soient des droites de IR^3 , si ton espace est topologiquement équivalent et de coubure scalaire nulle (c'est le cas non?). En revanche le transport parallèle de vecteurs doit etre différent , ils doivent "tourner" en se déplaçant le long des géodésiques non? (je n'ai pas vérifié).

Cordialement

Gilles

[invite8ef93ceb]

Bonsoir,

après une petite recherche dans les livres que j'ai en ma possession, voici ce que j'ai trouvé :

"To say that space or spacetime or any other manifold is flat is to say that there exists a coordinate system {} in which all geodesics appear straight:

. (1)

(Example : Lorentz spacetime of special relativity, where test bodies move on such straight lines.) They can appear so if and only if the connection coefficients in the geodesic equation

,

expressed in the same coordinate system, all vanish:

(2)

From the vanishing of these connection coefficients, it follows immediately [voir l'équation du tenseur de courbure ici] that all the components of the curvature tensor are zero:

. (3)

[Geometric restatement of (1)(2)3 : For all geodesics to be straight in a given coordinate system means that initially parallel geodesics preserve their separation ; the geodesic deviation is zero; and therefore the curvature vanishes.]
Is the converse true? Does zero Riemann curvature imply the existence of a coordinate system in which all geodesics appear straight? Yes, as one sees by the following construction. [...]

Summary: Spacetime is flat -- i.e., there exist "flat coordinates" in which everywhere and geodesics are straight lines, -- if and only if ."
Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation, p.283 (1973)

Il y a définitivement un point que je ne comprends pas. MTW dit que les équations sont des droites si et seulement si tous les composantes de la connexion affine sont nuls:

.

Mais dans l'exemple que je donne, i.e. , les composantes de la connexions ne sont pas tous nuls, et pourtant, on obtient (cherchons l'erreur)

.

Par conséquent,

.

J'ai donc bien

.

J'ai un résultat qui contredit le MTW
Je dois m'être trompé... Ma seule porte de sortie, c'est que . Quelqu'un vois une explication potentielle?


Merci pour votre intéret,


Cordialement,

Simon

[invitea29d1598]

salut!

tiens, c'est marrant, j'étais persuadé d'avoir répondu à ce fil...

ou alors j'ai oublié d'envoyer ma réponse

bref. En résumé, je disais :comme te le montre l'équation des géodésiques, seule la partie symétrique de la connexion y joue un rôle. Or, là, tu as une connexion purement antisymétrique. Donc ta géodésique est bien une droite, pas de doute.

pour ce qui est de la torsion, elle est définie à partir de la partie antisymétrique. Donc trivialement, elle n'est pas nulle dans ton cas.

le "hic" (et ce qui fait que ce que tu trouves dans le MTW te semble bizarre), c'est qu'on peut se placer à plusieurs niveaux mathématiques face à tout ça. Généralement pour la RG on se restreint aux variétés riemanniennes où on a une métrique, pas de torsion par hypothèse (c'est pour le principe d'équivalence) et une connexion induite par la métrique compatible avec celle-ci. Donc dans ce cas, effectivement, tu obtiens bien une connexion symétrique (les Christoffel) et tu as des géodésiques droites SSI l'espace est plat.

Mais ton exo se place dans un cadre mathématique plus général où la notion de métrique et celle de connexion ne sont pas dépendantes. Concrètement (ici), tu autorises la connexion à ne pas être purement symétrique, donc tu sors du cadre de la géométrie riemannienne (lequel est suffisant en RG la plupart du temps). Ton espace n'est pas un espace riemannien, c'est une variété munie d'une connexion. D'ailleurs, quand tu as à la fois une métrique et une connexion mais n'es pas en géométrie riemannienne, faut faire attention car une géodésique riemannienne correspond à deux choses qui peuvent être séparées dans un cas général : les courbes autoparallèles ne sont plus nécessairement les courbes de distance extrémale...

ça m'étonne que ça soit pas abordé dans le MTW (je l'ai pas sous la main) tant il est vaste... mais sinon, dans le Straumann la différence est clairement faite si je me souviens bien.

ps: et comme le disait Gilles, l'effet d'une torsion est de faire tourner le vecteur au cours du transport parallèle

[A voir en vidéo sur Futura]

[BioBen]

Muy muy interessante cette explication
Je note tout ca, c'est un peu plus que mon niveau mais c'est bon à retenir !

Merci pour la question Levesque effectivement elle soulevait un point interessant (j'avoue avoir un peu essayer de chercher d'où venait le problème...sans trouver malheuresement, mais ca a fait travailler quelques uns de mes neurones ).

[invite8ef93ceb]

Oui, tout à fait d'accord BioBen!

Donc, si j'ai bien compris, ce que dit le MTW sous-entends qu'on travaille toujours sur des espaces Riemanniens. Dans ce cas, leur affirmation suppose par définition que la torsion est nulle (pas de partie anti-symétrique dans la connexion). Donc, pas de problème avec ma solution, et pas de problème avec le MTW!

C'est très rassurant

Mais, malheureusement (ou heureusement!) j'avais noté une autre question à ce sujet, que j'espérais aborder après que la première soit classée. Et Rincevent me devance

Généralement pour la RG on se restreint aux variétés riemanniennes où on a une métrique, pas de torsion par hypothèse (c'est pour le principe d'équivalence)

Dans mes recherches des derniers jours sur la torsion, j'étais tombé là-dessus dans le MTW, sans qu'ils ne donnent de détail (MTW, p.250).

Un jour, dans un cours, ma prof a dit que la torsion devenait nulle à partir de maintenant, j'étais allé la voir à la fin pour lui demander pourquoi. Elle m'avait dit que c'était un postulat de la RG sans trop me donner de détail.

Évidemment, Rincevent, tu me fait beaucoup saliver sur une éventuelle explication (ou une bonne source!) sur le lien entre la torsion et le principe d'équivalence...

En tout cas, déjà, merci beaucoup pour tout ton aide! Et merci à tous ceux qui osent se mouiller!


Cordialement,


Simon

[mtheory]

Si la torsion n'est pas nulle tu tombes sur des théories de style Einstein-Cartan où l'on peut connecter la torsion avec une densité de spin.
Plus généralement si la torsion est nulle tu peux exprimer les coefficients de connexion affine (dit de Weyl) en fonction du tenseur métrique.
Tu obtiens alors des coefficients de Christoffell pur jus.
Dans les années 20/40 les tentatives de théories unitaires de la gravitation et de l'électromagnétismes cherchaient à se baser sur des généralisations de la géométrie de Riemann (où on avait une courbure et une torsion nulle).
Certains ont essayés une torsion sans courbure (Einstein-Mayer je crois) et une courbure avec torsion (Einstein-Schroedinger ?).
Dans ce dernier cas la géométrie était basée sur deux éléments indépendants,le tenseur métrique et la connexion affine (dérivée covariante).
C'est à l'origine des théories de jauges et des GUT avec les espaces fibrés car on cherchait une connexion affine avec un groupe de transformation suffisament large pour générer à la fois la gravitation et l'électromagnétisme.

[mtheory]

y a des choses intéressantes sur les tentatives de théories affines ici:

http://relativity.livingreviews.org/

http://relativity.livingreviews.org/...4-2/index.html

[invitea29d1598]

une éventuelle explication (ou une bonne source!) sur le lien entre la torsion et le principe d'équivalence...

c'est assez simple en fait : reviens à ce dont on a parlé dans l'autre fil sur le principe d'équivalence, c'est-à-dire son expression mathématique via l'existence d'un système de coordonnées tel que localement truc est égal à machin et bidule est nul. Bah en fait, tu peux montrer [c'est vraiment pas dur donc je te donne pas de réf, de toutes façons je suis pas sûr que connaître un endroit où c'est démontré ] qu'on arrive toujours à trouver un tel système de coordonnées SSI la connection est symétrique... c'est-à-dire s'il n'y a pas de torsion.

au passage, voici un papier intéressant sur les trucs à la Einstein-Cartan et leur lien avec la physique des milieux déformables :

http://xxx.arxiv.org/abs/gr-qc/0306029

[invite8ef93ceb]

Si la torsion n'est pas nulle tu tombes sur des théories de style Einstein-Cartan où l'on peut connecter la torsion avec une densité de spin.

Ouais, vraiment intéressant tout ça... Merci pour les liens aussi!

on arrive toujours à trouver un tel système de coordonnées SSI la connection est symétrique... c'est-à-dire s'il n'y a pas de torsion

Ça me rappelle quelque chose j'ai vu ça ces derniers jours. J'essai de retrouver, en tout cas, ça répond bien à ma question

Ciao,


Simon

[invite8ef93ceb]

Bonjour, j'aimerais seulement esquisser la preuve selon laquelle une torsion non-nulle viole le principe d'équivalence. Mais tout ne me semble pas aussi évident.

Principe d'équivalence: Dans le voisinage de tout point p, il existe un système de coordonnées tel que

et .

Straumann, GR with application to astrophysics, (2004) p.597, dérive l'équation suivante

, (1)

où est la partie antisymétrique [ce sont mes mots] de la connexion : .

Supposons, pour le moment, que le principe d'équivalence est satisfait. Alors, le deuxième terme de (1) est nul () et on substitut :

Je ne suis pas certain de la suite, voici ce que je ferais, mais je doute:

Si c'est bien ça, je continue ma preuve plus tard... je dois aller travailler

Simon

[chaverondier]

Voici un papier intéressant sur les trucs à la Einstein-Cartan et leur lien avec la physique des milieux déformables : http://xxx.arxiv.org/abs/gr-qc/0306029

Très intéressant. Au passage, ce document confirme le sentiment que j'avais quant à la nécessité de tenir compte de la théorie d'Einstein Cartan en gravitation quantique. En effet, en raison de l'absence de torsion propre à la connexion de Levi-Civita, la Relativité Générale contient implicitement l'hypothèse de nullité de la densité volumique de spin. Cette approximation est valable pour modéliser la gravitation à notre échelle et elle reste même valable à de très petites échelles (telle que l'échelle nucléaire) mais elle ne l'est plus en dessous d'une certaine échelle (et dans des situations extrêmes où la densité de spin pourrait, semble-t-il, être amenée à jouer un rôle (1)). Je cite:

"Spin has no role in general relativity, that is, spin does not influence the geometry of space-time…From a purely geometric point of view, general relativity can be amended to include spin to determine the properties of space-time. This is done in the Einstein-Cartan theory, which is based on a generalization of the geometric structure of general relativity…

In Eqs. (34) and (35), together with the energy-momentum tensor T_alpha bêta, spin is introduced by the spin-current density tensor Sigma^gamma_alpha bêta. It is expected that differences are present inside a spin distribution…Trautman introduced a characteristic length to estimate the effects of torsion, the “Cartan” radius.

r_Cart = r_Planck^(2/3) r_Compton^(1/3)

where r_Planck =1.6 × 10^-33 cm is the Planck length, and r_Compt is the Compton length. For a nucleon we obtain r_Cart = 10^-26 cm, which is very small when compared with macroscopical scales, but it is larger than the Planck length. Hence, torsion must be taken into account to achieve a quantum theory of gravity."

BC

(1) "We expect spin effects to be of the same order as the mass effects when n_moy = m/Kappa hbar^2 (n_moy = nombre moyen de particules de spin 1/2 et de masse m par unité de volume et Kappa = 8 pi G/c^4 désigne la constante de proportionnalité de l’équation de champ d’Einstein) or, alternatively, when the matter density is 10^47 g cm^-3 for electron-like matter and 10^54 g cm^-3 for nucleon-like matter.

These are extremely high densities, which are never reached in normal situations, even in extreme astrophysical objects. However, while in normal conditions the effects of torsion are completely negligible, they are expected to be important in cosmology. For example, it has been shown that a spin fluid model could prevent the big bang singularity, even though at the same time, other models producing torsion would enhance the singularity."

[mtheory]

Petite remarque.
La supergravité N=1,D=4 est souvent présentée comme la théorie d'Einstein Cartan couplée à un champ de spineur (3/2) de Rarita-Schwinger.

[invitea29d1598]

Mais tout ne me semble pas aussi évident.

j'ai réalisé que je t'avais possiblement induit en erreur : il faut que la métrique soit plate en P mais dans le cas général (pas nécessairement riemannien) la deuxième condition ne porte pas exactement sur les dérivées de la métrique. La deuxième condition qu'impose le principe d'équivalence est l'existence d'un référentiel dans lequel le déplacement parallèle est trivial, ce qui signifie que lorsqu'on transporte un vecteur le long d'une courbe paramétrée, la dérivée covariante du vecteur par rapport au paramètre est égale à la dérivée partielle par rapport à ce même paramètre.

si tu mets ça en commun avec les calculs que tu as faits, tu vois venir le bout...

[invite6f044255]

Très intéressant. Au passage, ce document confirme le sentiment que j'avais quant à la nécessité de tenir compte de la théorie d'Einstein Cartan en gravitation quantique. En effet, en raison de l'absence de torsion propre à la connexion de Levi-Civita, la Relativité Générale contient implicitement l'hypothèse de nullité de la densité volumique de spin.

C'est bien pour cela qu'en gravité quantique, on n'utilise pas la connection de Levi-Civita, mais plutôt des connections de spin.
Une des différences majeures est que la connection de Levi-Civita provient d'une métrique, contrairement aux connections de spin. Ces dernières sont donc très intéressantes pour les théories qui se veulent "background-independent".

[mtheory]

C'est bien pour cela qu'en gravité quantique, on n'utilise pas la connection de Levi-Civita, mais plutôt des connections de spin.
Une des différences majeures est que la connection de Levi-Civita provient d'une métrique, contrairement aux connections de spin. Ces dernières sont donc très intéressantes pour les théories qui se veulent "background-independent".

Euh...de mémoire les connexions de spin peuvent dépendrent aussi de la métrique non ?.
Il s'agit 'juste' des connexions affines ré-écrites pour des bases de tétrad nulles et donc permettant l'introduction du formalisme spinoriel en espace-temps courbe (quand c'est possible).
Le but initial étant d'écrire l'équation de Dirac en espace-temps courbe.
Par contre c'est vrai que les connexions spinorielles sont particulièrement adaptées pour faire du 'Background independent' comme Sen et Ashtekhar l'ont montrés .

[invitea29d1598]

Euh...de mémoire les connexions de spin peuvent dépendrent aussi de la métrique non ?

ça dépend si tu parles de la description d'une variété riemannienne (et donc par exemple du formalisme de la tétrade de la RG) ou d'une variété (théorie) plus générale. Dans un cadre général la connection est indépendante de la tétrade (et donc de la métrique). On a dépendance si on impose (par exemple) l'absence de torsion.

Il s'agit 'juste' des connexions affines ré-écrites pour des bases de tétrad nulles

dans le formalisme de la tétrade de la RG on ne travaille pas nécessairement avec une tétrade nulle.

[mtheory]

ça dépend si tu parles de la description d'une variété riemannienne (et donc par exemple du formalisme de la tétrade de la RG) ou d'une variété (théorie) plus générale. Dans un cadre général la connection est indépendante de la tétrade (et donc de la métrique). On a dépendance si on impose (par exemple) l'absence de torsion.

Il me semble que c'est bien ce que j'ai dit,j'ai parlé de coefficients affines par opposition aux symboles de Christoffels.
J'ai employé 'peuvent' au cas où précisément on est en géométrie Riemanienne.
Dans la formulation d'ixi c'est jamais le cas,ces coefficients ne dépendent jamais de la métrique.
J'imagines bien qu'il a pensé juste,c'est juste sa phrase qui me pose problème.

dans le formalisme de la tétrade de la RG on ne travaille pas nécessairement avec une tétrade nulle.

D'accord,ça marche avec les coefficients de rotation de Ricci non ?mais là c'est connexion de spin,je ne suis pas sûr que ça n'implique pas des tétrades nulles.
M'enfin c'est pas un points bien frais dans ma tête et il est possible que je mélange plusieurs choses.

[invitea29d1598]

Dans la formulation d'ixi c'est jamais le cas,ces coefficients ne dépendent jamais de la métrique.

parce qu'il est piégé à jamais au-delà de la RG

D'accord,ça marche avec les coefficients de rotation de Ricci non ?mais là c'est connexion de spin,je ne suis pas sûr que ça n'implique pas des tétrades nulles.
M'enfin c'est pas un points bien frais dans ma tête et il est possible que je mélange plusieurs choses.

je viens d'aller zieuté diverses sources pour vérifier la terminologie... c'est pas clair : Wald parle de coeff de Ricci pour une tétrade orthonormée et garde coefficient de spin pour le cas d'un tétrade nulle et de coefs complexes, mais tu vois dans diverses autres sources le terme 'spin connection' pour le cas réel...

donc as you like, de toutes façons ça change pas grand chose à la physique

[invite8ef93ceb]

Bonsoir, je viens de voir tout ces nouveaux posts. Et ils m'amène (encore) des questions.

Certaines théories quantiques de la gravitation ne supposent pas une torsion nulle. Ma question est: on fait quoi du principe d'équivalence à petite échelle?

Je sais qu'il y a beaucoup d'expériences macroscopiques qui torturent le principe d'équivalence pour lui faire dire tout ce qu'il sait, mais qu'en est-il pour le microscopique (c'est surement difficile étant donné la faiblesse de la gravité à cette échelle)?

Est-ce qu'on suppose que la Torsion est quelque chose comme une correction? Ou à une certaine échelle, on peut admettre tous les ordres de grandeur (étant donné que, finalement, le rôle de la gravité est négligeable à cette échelle)? Est-ce qu'il faut choisir une Torsion dont l'effet peut être annulé par la faiblesse du champ gravitationnel?

Merci pour vos précisions là-dessus.

il faut que la métrique soit plate en P mais dans le cas général...

Merci, en revenant de Paris, aujourd'hui, j'ai fini le calcul sur un bout de papier.. et substituant C par son expression en terme de Gamma, je suis arrivé à Gamma=Gamma, ce qui m'a un peu déçu. Je regarde ça avec un nouveau regard.



Cordialement,

Simon

[invite8ef93ceb]

aujourd'hui, j'ai fini le calcul sur un bout de papier.. et substituant C par son expression en terme de Gamma, je suis arrivé à Gamma=Gamma, ce qui m'a un peu déçu.

J'ai fait le calcul de mémoire et j'ai fait une erreur dans les indices, en fait, je trouve (ne pas oublier que je travaille en coordonnées locales):

. (1)

Par cette approche, j'aurais aimé montrer que principe d'équivalenceConnexion symétrique (donc torsion nulle). L'équation (1) ne me donne pas vraiment d'info là-dessus, seulement que si la connexion est symétrique, alors elle est nécessairement nulle (seule façon de satisfaire (1)).

La deuxième condition qu'impose le principe d'équivalence est l'existence d'un référentiel dans lequel le déplacement parallèle est trivial, ce qui signifie que lorsqu'on transporte un vecteur le long d'une courbe paramétrée, la dérivée covariante du vecteur par rapport au paramètre est égale à la dérivée partielle par rapport à ce même paramètre.

J'aurais besoin de plus de détail. On a

,

et ce, il me semble, peut importe ce qu'est . Donc, montrer que la dérivé covariante est égale à la dérivée partielle demande à montrer que la connexion est nulle, ce qui ne m'aide pas à continuer ma preuve commencée plus haut.

Si ce dont tu parles, c'est de passer en coordonnées normales dans l'équation de la géodésique pour obtenir
, on obtient exactement la même condition que (1), c'est-à-dire qu'au point paramètre=0 sur la courbe, on a .

Cela ne montre pas non plus que la connexion est symétrique, mais que si elle l'est, elle doit être nulle [c.f. Straumann, p. 582].

Normalement, il faudrait que les deux conditions (g(p)=eta et dg/dlambda=0) sur la métrique nous donne une connexion symétrique? Parce que sinon, mon exemple où la connexion est le symbole de Levi-Civita respecte très bien (1), qui est une conséquence directe (il me semble) du principe d'équivalence...

Soit (i) il me manque une condition pour montrer que la connexion doit être symétrique (et donc nulle puisqu'elle doit respecter (1)) ou bien (ii) une connexion nulle ET une connexion totalement antisymétrique sont en accord avec le principe d'équivalence.

J'ai bien hâte de clarifier tout ça...


Salutations,

Simon

[invitea29d1598]

salut,

on fait quoi du principe d'équivalence à petite échelle?

on pense qu'il n'est plus valable à petites échelles... à partir du moment où tu as un champ gravitationnel quantique, tous les types de couplage (enfin, avec certaines restrictions liées aux symétries) sont à attendre...

Je sais qu'il y a beaucoup d'expériences macroscopiques qui torturent le principe d'équivalence pour lui faire dire tout ce qu'il sait, mais qu'en est-il pour le microscopique (c'est surement difficile étant donné la faiblesse de la gravité à cette échelle)?

ouaip... on a déjà du mal à vérifier que la loi de Newton marche encore en dessous d'une certaine échelle (je crois que la limite actuelle est de l'ordre du micron). Sur les divers tests y'a ce papier qui est pas mal :

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0504086

(en fait Will en a écrit divers sur ce sujet...)

Est-ce qu'on suppose que la Torsion est quelque chose comme une correction? Ou à une certaine échelle, on peut admettre tous les ordres de grandeur (étant donné que, finalement, le rôle de la gravité est négligeable à cette échelle)?

si tu regardes ce que Bernard a cité du papier que j'ai indiqué sur la théorie de Einstein-Cartan, tu verras que selon celle-ci on s'attend à des effets liés à la torsion absolument pas négligeables dès que la densité de spin est importante (la théorie de Einstein-Cartan coïncide avec la RG dans le vide). Et comme mtheory le rappelait, la supergravité implique très souvent (toujours?) de la torsion.

Est-ce qu'il faut choisir une Torsion dont l'effet peut être annulé par la faiblesse du champ gravitationnel?

comprends pas la question

Normalement, il faudrait que les deux conditions (g(p)=eta et dg/dlambda=0) sur la métrique nous donne une connexion symétrique?

la deuxième condition n'est pas imposée pour cette démo

j'ai pas refait ton calcul donc vois pas trop comment tu es arrivé à (1). Enfin le principe de la démo est assez simple mais repose sur un truc dont je crois que tu l'as pas vraiment pris en compte... disons que sans avoir cherché à suivre pas à pas ton raisonnement/calcul, je pense que tu ne t'y es pas pris de la manière la plus simple.

En voici une plus directe : commence par écrire que la dérivée covariante est un tenseur. Cela te donne la relation qui décrit comment changent les coeffs de la connexion (quelconque) dans un changement de coordonnées. Montre ensuite que utilisant un changement de système de coordonnées bien choisi et partant d'une connexion donnée, tu pourras toujours te ramener à un référentiel local où la métrique est localement plate et la connexion triviale SSI la connexion initiale est symétrique. Dans un premier temps tu montres que si elle est pas symétrique, ça marche pas, et ensuite qu'étant donnée une connexion symétrique, pour chaque point de l'espace-temps, tu trouveras toujours un système de coordonnées local avec des coefficients nuls pour la connexion.

une autre façon de voir ça : tu peux montrer que la partie antisymétrique de la connexion est un tenseur et ne peut donc pas s'annuler par un simple changement de coordonnées (étant donné que si un tenseur est nul dans un système de coordonnées fixé, il l'est dans tout autre).

[invite8ef93ceb]

Merci pour les infos et l'aide...

J'avais un exo à remettre demain, et j'ai tout négligé parce que cette question (qui n'est pas demandé) m'obsède... je vais essayer de faire mon devoir et revenir à ça plus tard.

Je garde précieusement tes infos

Simon

[invite8ef93ceb]

commence par écrire que la dérivée covariante est un tenseur. Cela te donne la relation qui décrit comment changent les coeffs de la connexion (quelconque) dans un changement de coordonnées.

Disons, pour un champ vectoriel et pour la dérivée covariante , on trouve que les composantes du champ changent comme

. (*)

Les sont les coordonnées locales dans un ouvert . Si on considère un deuxième système de coordonnées sur , et qu'on dénote les composantes du champ relativement à , on a que

(**)

Avant de continuer, j'aurais besoin d'une précision. L'équation (*) ne spéfie pas explicitement qu'elle est valide au point p, alors que l'équation (**) le fait.

J'ai peur d'écrire des choses fausses, j'aimerais un peu qu'on me précise ce que j'ai le droit de faire et pourquoi. Je réfléchie de mon côté, là je préfèrealler manger mon Thai plutot que de continuer à réfléchir

A+

Simon

[invite8ef93ceb]

Avant de continuer, j'aurais besoin d'une précision. L'équation (*) ne spéfie pas explicitement qu'elle est valide au point p, alors que l'équation (**) le fait.

J'ai peur d'écrire des choses fausses, j'aimerais un peu qu'on me précise ce que j'ai le droit de faire et pourquoi.

En gros, l'équation (*) est valide le long d'une courbe, tandis que l'équation (**) est valide pour un point donné. Je ne suis pas certain que de comprendre pourquoi je peux substituer (**) dans (*) pour continuer la preuve (mais il semble que Straumann le fait [Ed. 2004, p.578, éq. 13.2 ou Ed. 1991, p.48, éq. 5.2]).

Sinon, dans Straumann (mêmes pages que je viens de citer), j'ai trouvé l'expression qui donne les composantes de la connexion dans un système de coordonnés en terme des composantes dans un autre système:

(1)

Elle n'est pas difficile à dériver étant donné les différentes étapes données dans le livre. Disons que je pars de là. Je pense que c'était le point de départ proposé par Rincevent. Pour la suite, reportons nous au maître :

Montre ensuite que utilisant un changement de système de coordonnées bien choisi et partant d'une connexion donnée, tu pourras toujours te ramener à un référentiel local où la métrique est localement plate et la connexion triviale SSI la connexion initiale est symétrique

"la métrique est localement plate", j'exprimerais cela mathématiquement comme une coubure nulle lorsqu'exprimée dans les coordonnées locales (?). La courbure est donnée par

.

Si on fait un changement de coordonnées quelconque, on obtient

. (2)

Si je comprends bien, j'ai seulement à substituer (1) dans (2), imposer , et vérifer ce que cela impose à ?

Rincevent, lorsque tu dis "tu pourras toujours te ramener à un référentiel local où [1] la métrique est localement plate et [2] la connexion triviale", est-ce que tu veux dire que je dois cherche un référentiel où [1] et [2] doivent être satisfait indépendamment, ou bien [1] est équivalent à [2] et ta phrase ne dit que deux fois la même chose dans différents mots? (ce sont encores mes lectures dans le MTW qui me mélangent sur ce point).

Merci pour l'aide,

Simon

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

"la métrique est localement plate", j'exprimerais cela mathématiquement comme une coubure nulle lorsqu'exprimée dans les coordonnées locales (?).

En fait, je pense que c'est mieux d'exprimer les composantes de la connexion en terme des composantes de la métrique (Eq. 13.77, p.597 Straumann 2004). Comme ça, je pourrai directement passer mes deux conditions sur la métrique pour respecter le principe d'équivalence. Et "la métrique est localement plate" pourra être exprimé par la condition où la métrique est celle de la RR.

A+ (quand j'aurai terminé la preuve j'espère)

Simon

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

je crois que j'ai une bonne piste.

Il n'est pas difficile de montrer que la connexion, sous un changement de coordonnées, se transforme comme

, (1)

Il n'est pas difficile non plus de montrer que la quantité

(*)

se transforme comme

. (2)

Soustrayant (2) de (1), on obtient

(**)

Donc, la quantité se transforme comme un tenseur.

Montre ensuite que utilisant un changement de système de coordonnées bien choisi et partant d'une connexion donnée, tu pourras toujours te ramener à un référentiel local où la métrique est localement plate et la connexion triviale SSI la connexion initiale est symétrique

Je suppose que, dans le système primé, la connexion est nulle et la première dérivée de la métrique nulle, ce qui implique que le côté gauche de (**) est nul :

(3)

Pour que l'équation (3) soit vraie pour une connexion initiale quelconque, il faut avoir

(4)

Utilisant (4) et un résultat de Straumann [2004, eq. 13.77, p.597] qui exprime les composantes de la connexion comme

, (STR)

où est donné par (*) et est la partie antisymétrique de la connexion, on arrive facilement à la conclusion que




, (5)

Et donc, , ce qui implique

. CQFD

Dans la preuve, dont je ne suis pas certain à 100%, il y a deux points où je ne suis pas convaincu.

1- Rincevent demande de supposer que la connexion est nul (triviale) dans le système de coordonnées après transformation. Je ne vois pas directement le lien avec le principe d'équivalence (ou, plus précisément, avec les lois de la physique dans un référentiel non-accéléré).
2- Le calcul qui mène au résultat (5), le jeu d'indice demande une vérification. Ce qui m'embête, c'est que Straumann écrit, dans son livre, l'équation (STR) telle qu'elle. Si mon calcul est bon, alors pourquoi Straumann n'a pas annulé les deux termes que j'annule, pour écrire:

.

Le fait qu'il ait laissé ces terme me fait penser qu'ils ne s'annulent peut-être pas et que mon calcul contient une erreur.

Merci beaucoup pour l'aide!

Aussi, je remercie Weinberg, son livre m'a beaucoup aidé pour les expressions des transformations (voir p. 100 et 101).

Cordialement,

Simon

[invite8ef93ceb]

2- Le calcul qui mène au résultat (5), le jeu d'indice demande une vérification. Ce qui m'embête, c'est que Straumann écrit, dans son livre, l'équation (STR) telle qu'elle. Si mon calcul est bon, alors pourquoi Straumann n'a pas annulé les deux termes que j'annule, pour écrire:

.

Le fait qu'il ait laissé ces terme me fait penser qu'ils ne s'annulent peut-être pas et que mon calcul contient une erreur.

Je présente le calcul en détail pour que mon questionnement soit plus clair. La seule hypothèse admissible dans le calcul suivant est que . Si vous voyez que je fais d'autre hypothèses sans m'en rendre compte, mordez moi. Voici donc :









Et je suis du genre à penser que , mais il me semble que tout ça est un peu louche. Surtout le jeux d'indices qui étaient sommés et qui ne le sont plus...

[invitea29d1598]

salut,

je fais remonter du vieux

t'as un gros bug là avec tes indices... je comprends pas quelle cuisine tu fais avec tes c (indices) répétés plusieurs fois muettement et pas muettement...

reste que quand tu es arrivé à ton équation (4), j'ai pas trop compris pourquoi tu ne t'es pas arrêté : si tu as (4), alors tu vois que la connexion est symétrique puisque les le sont. Mais le problème c'est que tu n'as pas cherché une solution locale et c'est pour ça que tu trouves que la seule solution c'est que ta connexion soit celle de LC.

La démo doit être locale (et est un peu plus simple).

Pour un changement de coordonnées, tu sais que la métrique change par

g' = A g At

où A est la matrice liée au changement de coordonnées et At sa transposée. Puisque tu cherches un truc localement, tu peux toujours écrire

x' = A x + truc d'ordre (x^2) où x et x' sont des vecteurs et A une matrice constante.

dire que la métrique est plate (tu peux pas annuler le tenseur de Riemann par un simple changement de coordonnées si l'espace est pas plat), ça veut dire imposer g' = eta (métrique de Minkowski). Partant de g donnée, cela signifie résoudre un système de 10 équations pour 16 inconnus (10 équations car la métrique est symétrique, 16 inconnues car A est une matrice 4x4). Donc tu trouveras toujours une solution.

Maintenant, la connexion. En utilisant ta relation (1), tu vois que pour que la connexion ait des coefficients nuls dans le système prime il suffit de pouvoir imposer localement une relation entre les dérivées secondes de x' par rapport à x



et les coefficients de la connexion dans le système initial, compte tenu de la relation établie au premier ordre (c'est-à-dire les coefs de A). Or, le truc formé par les dérivées secondes est symétrique (en b et c) donc tu ne peux imposer que si est symétrique en b et c. Pour ce qui est du nombre de variables et d'équations, ça passe encore.

[invite8ef93ceb]

Merci Rincevent,

je viens de voir ta réponse,

j'apprécie beaucoup ton aide!

Cordialement,

Simon