Relation d'équivalence

[invite56460777]

Bonjour,

Je ne comprends pas très bien ce que signifie l'expression "relation d'équivalence", comment fait-on pour les reconnaitre et déterminer leur classe d'équivalence?
D'avance, merci
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[pallas]

Il suffit d'apprendre la définition :R est une relation d'équivalence si dans un ensemble E
1) R est reflexive: pour tout a de E aRa
2) Symétrique : si aRb alors bRa
3) transitive : aRb et bRc implique aRc
La classe de a est l'ensemble des éléments en relation avec a
Par exemple si E = les droites et R le parrallelisme.
c'est ok et la classe d'une droite est sa direction.

[invite56460777]

Si par exemple j'ai un ensemble M et la relation ~ (équivalent)

M= ensemble des réels; a~b si et seulement si |a| = |b|

|a|= a ou -a
Donc ce n'est pas vrai, car la réflexivité n'existe pas?

[invite9e95248d]

si c'est vrai car la reflexivité te dis que tu prends un A et que tu dois avoir ARA autrement dit dans ton cas |A|=|A| c'est qui est vrai.

La valeur absolue est bien une relation d'équivalence, les classes d'équivalences qui en sortent sont un nombre et son opposés

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56460777]

ok. Existe t-il des cas où la relation est certes symétrique et transitive mais pour laquelle la réflexivité n'est pas respectée?

[invite14ea0d5b]

je pense pas ?_?

aRb et bRa (par la symétrie)
=> aRa (par la transitivité)

donc refléxivité

[invite56460777]

Je croyais que pour la transitivité marche il fallait trois éléments distincts a, b et c sinon les dés ne sont-ils pas pipés?
aRb et bRc => aRc

[invite9e95248d]

tu veux dire quoi par existe-t-il des cas ?
si tu parles d'une relation d'equivalence qui ne serait pas reflexive la réponse est non.
apres une relation binaire vérifiant seulement symetrie et transitivité j'imagine que ça doit se trouver

[invite56460777]

apres une relation binaire vérifiant seulement symetrie et transitivité j'imagine que ça doit se trouver

Je recherche en effet une relation vérifiant seulement symétrie et transitivité. D'après les définitions, ca devrait exister mais je n'arrive pas à construire un tel exemple

[inviteab2b41c6]

Une relation d'équivalence c'est une partie de R².
Elle doit vérifier les axiomes cités:
reflexivité: (a,a) est dans la relation
Symétrie: si (a,b) est dans la relation (b,a) est dans la relation
Transitivité: si (a,b) et (b,c) sont dans la relation alors (a,c) est dans la relation.

C'est assez facile de voir ce qui se passe graphiquement.
Ca permet de bien voir ce qui se passe en général...

[invite1c6e02b6]

je pense pas ?_?

aRb et bRa (par la symétrie)
=> aRa (par la transitivité)

donc refléxivité

tu viens donc de démontrer que la reflexivite ne sert à rien..!!!
et donc une relation d'equivalence serait définie seulement avec la symétrie et la transitivité....cela se saurait..

en fait la symétrie te dit :
SI aRb, alors bRa,
ce qui ne veut pas dire que aRb....et donc on ne peut pas conclure que aRa par transitivite...

pour une relation verifiant uniquement la symetrie et la transitivite, il suffit de la construire :
je prend l'ensemble E={a,b,c}
et la relation R definie sur E par : aRb, bRa, et cRc
elle est symétrique, transitive et non reflexive..!!

[invite1c6e02b6]

euh..ma relation precedente n'est pas transitive..oups
prendre plutot:
aRb, bRa, aRa, bRb, et c en relation avec personne..

[invite14ea0d5b]

tu viens donc de démontrer que la reflexivite ne sert à rien..!!!
et donc une relation d'equivalence serait définie seulement avec la symétrie et la transitivité....cela se saurait..

mdr ^^' je vais recevoir la médaille fields :P en fait j'avais pas pensé (c'est bête) qu'un élément pouvait être en relation avec aucun autre... et si on sait que chaque élément est en relation avec un élément au moins et que la relation et transitive et symétrique, peut-on conclure qu'elle est refléxive ?

[invite1c6e02b6]

et si on sait que chaque élément est en relation avec un élément au moins et que la relation et transitive et symétrique, peut-on conclure qu'elle est refléxive ?

ça m'a l'air bon cette fois si :
pour tout a, il existe b tq aRb (par hyp )
or R symetrique donc bRa
or R transitive donc aRa.

[invitea48de938]

Quant à une classe d équivalence , x et y sont dans la même classe d'équivalence si x~y . Hoplà . Pour un exemple pas mal je conseille la relation de congruence .

[inviteab2b41c6]

En fait techniquement la relation de congruence est justement le fait que x~y mais pour une relation particulière:
On fixe un sous groupe H d'un groupe G
on dit que x~y si
xy^(-1) est dans H

Concretement une classe d'équivalence est l'ensemble des éléments qui sont en relation entre eux. Il est assez simple de voir que l'ensemble des classes forme une partition de notre ensemble de départ.

Pour revenir au commentaire précédent, je pense également que lorsque l'on veut voir ce qui se passe sur une structure quotient, il faut toujours faire une analogie avec une structure Z/pZ, tant qu'à faire p non premier, sinon on est dans un cadre un peu particulier...

[invite4793db90]

Salut,

pour ma part, je dirais qu'une relation d'équivalence permet d'identifier des objets a priori différents pour s'intéresser à ce qui est commun entre eux. Dans Z/pZ, on s'intéresse aux entiers modulo p: la classe de 0 correspond aux multiples de p, celle de 1 à celle des entiers np+1, etc...

Mais les ensembles quotients ne ressemblent pas forcément à Z/pZ: l'espace des germes d'une fonction analytique, L²(R) ou encore la construction de R (ou des nombres p-adiques) par Banach-complétion sont quelques exemples qui ne "ressemblent" pas beaucoup à un anneau Z/nZ. Non?

[inviteab2b41c6]

Ah non je n'ai pas dit que ca y ressemblait, mais je voulais dire que pour appréhender la notion, il est souvent facile de faire l'analogie...

[invite4793db90]

C'est vrai que ce sont les premiers exemples concrets et intéressants d'ensembles quotients!

[invite56460777]

si c'est vrai car la reflexivité te dis que tu prends un A et que tu dois avoir ARA autrement dit dans ton cas |A|=|A| c'est qui est vrai.

La valeur absolue est bien une relation d'équivalence, les classes d'équivalences qui en sortent sont un nombre et son opposés

Je suis d'accord pour dire que les classes d'équivalence de la valeur absolue sont {a, -a} mais c'est plus de l'intuition qu'autre chose. Comment fait-on pour le justifier correctement?

[invite4793db90]

Je suis d'accord pour dire que les classes d'équivalence de la valeur absolue sont {a, -a} mais c'est plus de l'intuition qu'autre chose. Comment fait-on pour le justifier correctement?

Si on se donne la classe de a, quels sont les nombres x qui vérifient |x|=|a|?