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Exercice relation d'équivalence



  1. #1
    Sp6men

    Exercice relation d'équivalence


    ------

    Je n'arrive pas à résoudre et comprendre cet exercice, je n'ai pas compris à quoi consisté une relation d'équivalence...

    Soit R la relation binaire de IR dans IR définie par :
    xRy <==> (x² + y² ≤ 1 ou x = y)
    R est-elle une relation d’équivalence sur IR ?

    Merci d'avance...

    -----

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  3. #2
    T@kniX

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Salut

    Pour montrer qu'une relation est une relation d'équivalence il faut que tu montres qu'elle est réflexive, symétrique et transitive.

  4. #3
    Sp6men

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Elle est;
    - réflexive si pour tout x appartient à E, xRx
    - symétrique si xRy => yRx
    - transitive si xRy et yRz => xRz
    Mais comment on montre tout ça?

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Exercice relation d'équivalence

    On regarde les 3 propriétés les unes après les autres et au besoin on cherche un contre-exemple.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Sp6men

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Je comprends pas comment tu peux démontrer.
    xRx: car x = y?
    xRy => yRx : Comment fait-on?
    xRy et yRz => xRz: Comment fait-on?

  8. #6
    Sp6men

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Je comprends pas la façon de démontrer xRy => yRx et
    xRy et yRz?

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  10. #7
    Jeanpaul

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Compare les définitions de xRy et yRx, est-ce que ce ne serait pas la même chose ?
    Pour la transitivité, ça ne marche pas, il faut trouver un contre-exemple.

  11. #8
    Sp6men

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Pour la symétrie:
    xRy et yRx
    On fait: x² ≤ 1 + y² et y² ≤ 1 - x². Cela démontre la symétrie?
    Pour la transitivité: il faut faire comment pour le contre exemple?

  12. #9
    Jeanpaul

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Si x² + y² est inférieur à 1, alors y² + x² aussi +. Ou alors si x=y alors y=x.
    Pour le contre-exemple, trouve un cas où x² + y² < 1 et y² + z²<1 alors que x² + z² >1.
    Indication : prends y petit.

  13. #10
    Sp6men

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Tu peux pas m'écrire la solution, parce que je comprends pas, je voudrais avoir un cas concret pour pouvoir faire toutes les autres.

  14. #11
    Ledescat

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Citation Envoyé par Sp6men Voir le message
    Tu peux pas m'écrire la solution, parce que je comprends pas, je voudrais avoir un cas concret pour pouvoir faire toutes les autres.
    Déjà, as-tu compris que pour montrer qu'une propriété est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple ?

    Si tu le trouves,comme te l'indique Jeanpaul, alors ton exercice sera terminé et tu n'auras rien à démontrer.

    C'est pourquoi il est en général plus facile de montrer qu'une propriété est fausse que de montrer qu'une propriété est vraie.
    Cogito ergo sum.

  15. #12
    Jeanpaul

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Prends x=0,9
    y = 0,1
    z=0,8
    et regarde si xRy et yRz et enfin si xRz. Refère-toi aux définitions de la relation R.

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  17. #13
    Sp6men

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Tu prends des valeurs comme ça? Et on a pas x = y???

  18. #14
    Ledescat

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Citation Envoyé par Sp6men Voir le message
    Tu prends des valeurs comme ça? Et on a pas x = y???
    As-tu 0.9 R 0.1 ?
    C'est-à-dire, l'assertion [ (0.9)²+(0.1)²=<1 ou 0.9=0.1 ] est-elle vraie ? Et pourquoi ?
    Cogito ergo sum.

  19. #15
    Sp6men

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Oui elle est vrai [ (0.9)²+(0.1)²=<1] Ce n'est pas un contre-exemple...

  20. #16
    Ledescat

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Citation Envoyé par Sp6men Voir le message
    Oui elle est vrai [ (0.9)²+(0.1)²=<1] Ce n'est pas un contre-exemple...
    Le contre-exemple porte sur la transitivité, donc prendre 2 nombres ne sert à rien, c'est pourquoi jeanpaul t'en a proposé 3.

    Tu as 0.9 R 0.1
    Maintenant, as-tu 0.1 R 0.8 ?

    Et finalement as-tu 0.9 R 0.8 ?


    Qu'en déduis-tu sur la transitivité ?
    Cogito ergo sum.

  21. #17
    Médiat

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Déjà, as-tu compris que pour montrer qu'une propriété est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple ?
    Propriété universelle
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    Sp6men

    Re : Exercice relation d'équivalence

    Merci bien...

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