Algèbre Linéaire - Diagonalisation

[invite2e5fadca]

Bonjour, bon j'ai eu une petite série d'exercice à faire, et il y en a deux ou je planche un peu :

Exercice 1

Soit l'application :




Ce que j'ai fait :



Matrice de f :



Je n'arrive pas a determiner ces valeur propre ou ces vecteurs propres, que cela soit en calculant le determinant de M-xId (Je n'arrive pas a le calculer) ou avec des système d'equations (Trop compliqué).

Exercice 2



f vérifie f^k=Id_E, k étant un entier naturel.

Montrez que f est diagonalisable.

Je tourne un peu en rond mais j'ai trouver quelque truc :




On remarque aussi :


Ce qui implique que f est inversible.

Sinon j'ai aussi trouver une application f comme exemple :




Merci de votre aide, je demande pas des réponse necessairement mais des pistes...
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[invite78df7f0b]

Salut,
pour l'exercice 2 c'est faux si par exemple E est un R-espace vectoriel: par exemple la matrice M:
(0 -1)
(1 0)
n'est pas diagonalisable dans R (elle n'admet pas de valeurs propres réelles, c'est une rotation de pi/2..), mais pourtant on a M^4=Id.
Par contre, le résultat est vrai dans si E est un C-espace vectoriel. En effet par hypothèse on a M^k=Id, or X^k-1 est sciendé à racines simples dans C, donc M est annulatrice d'un polynôme scindé à racines simples, ie diagonalisable.

[invite2e5fadca]

En effet dans R c'est faux, je n'avais pas remarqué, l'exercice ne précise pas le corp de base...

Sinon merci pour t'a réponse. Est ce que c'est le théorème dde Cayley-Hamilton que tu utilise pour conclure? On a pas pas encore vu cette propriété, on a juste vu que si un polynome caractéristique est scindé, alors l'application est trigonalisable...

[invite2e5fadca]

Bon ca date mais je vais poster les corriger qu'on a fait :

Exercice 1 : je posterais plus tard j'ai pas le corriger sur moi, et sachant que l'exercice utilisait des Equation différentiel qu'on a pas encore appris a résoudre (Oui oui de l'analyse ), je peut ps le refaire :

Exercice 2 :

On se place dans pour l'exercice. Soit E un espace vectoriel

On a :


On pose : , on a alors :
-
-

EN appliquand le lemme des Noyaux à P(f), on obtient :





CCL : f est diagonalisable ( Je crois que j'ai oublié un truc important à la fin, pour justifier que c'est tous des valeurs propres mais j'arrive plus a me souvenir).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cf21bce]

CCL : f est diagonalisable ( Je crois que j'ai oublié un truc important à la fin, pour justifier que c'est tous des valeurs propres mais j'arrive plus a me souvenir).

Salut.

Tous les ne sont pas forcément des valeurs propres. Ce qu'il faut voir à ce stade, c'est que pour les qui ne sont pas valeurs propres, on a

Donc cette somme directe se ramène à une somme où n'interviennent que des valeurs propres.

Sinon, n'oublie pas de préciser que les sont distincts pour pouvoir appliquer le lemme des noyaux.

Taar.