Algèbre linéaire

[herman]

Bonjour,

J'ai quelques difficultés en ce qui concerne les bases, les noyaux, les images...

Je ne parviens pas à me représenter concrètement ce que représente la base d'un noyau ni même ce que représente spatialement un noyau.

Une base de R³ c'est une sorte de coté (comme ça que j'essaye de me le représenter). Mais après la représentation devient impossible, manque de connaissance ou alors mon cerveau ne peut pas aller plus loin spatialement je ne sais pas. En tout cas je suis preneur de tous types d'explications.
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[invite21126052]

Salut!

A mon avis, il faut déjà que tu distingues deux choses:
bases d'un côté,
noyau et image de l'autre.

Tout d'abord, je me permettrais d'émettre un doute sur la pertinence de ta représentation d'une base de .
Une base, c'est "simplement" une famille de vecteurs qui te permet de reconstruire n'importe quel vecteur de l'espace vectoriel que tu considères ( ou un autre!) en faisant des combinaisons linéaires (on va en rester aux dimensions finies) (aspect générateur), et tel qu'il n'y en ait pas plus qu'il ne faut, autrement dit, que tu ne peux pas générer un vecteur de ta base avec des CL des autres vecteurs de ta base (aspect libre)
Alors une base de , ce serait plutôt 3 vecteurs quelconques "pas trop particuliers", ie non coplanaires. Tu peux penser à une base orthonormale habituelle, ça va très bien; en fait 2 vecteurs quelconques t'engendrent un plan, et le 3e, s'il n'est pas dans celui-ci, te permet de "sortir" du plan. Et ce 3e vecteur ne peut pas être obtenu comme somme de tes deux premiers vecteurs.
Et ainsi de suite.

Le noyau et l'image, ce sont des notions associées à une application linéaire (je pense que tu sais ce que c'est!)
Le noyau, c'est l'ensemble des vecteurs dont l'image est 0. Pas grand chose d'autre à dire, sauf que c'est un espace vectoriel; à la limite tu peux tracer des patatoïdes sur une feuille, un grand et un petit à l'intérieur, un autre à côté, et une flèche qui envoie le petit patatoïde vers une croix dessinée dans le 3e, à côté, qui est le vecteur nul.

Une base du noyau, c'est une base de cet espace vectoriel: autrement dit, quel que soit le vecteur du noyau, tu pourras toujours l'écrire comme CL de tes vecteurs de base.

Pareil avec l'image: c'est l'ensemble (et même l'e.v.) que tu obtiens en rassemblant tous les vecteurs obtenus en appliquant ta fonction à chacun des vecteurs de l'ev dans lequel tu travailles. C'est-à-dire que pour tout vecteur x dans Im f, il existera un vecteur y dans ton espace de départ tel que x = f(y)

J'espère que c'est plus clair comme ça!

[Bleyblue]

Salut,

Je ne pense pas qu'il soit nécessaire de pouvoir se représenter ça spatialement en fait.
C'est quelque chose de théorique, et si ton espace vectoriel est par exemple bonne chance pour te représenter spatialement une partie de celui-ci

[invite21126052]

Personnellement, je pense au contraire qu'il peut être intéressant de pouvoir se représenter mentalement quelques concepts.

Alors, évidemment, je ne me représente pas , mais se représenter les concepts nouveaux dans des cas particuliers "simples" peut permettre de s'habituer au concept, en tout cas en avoir un peu moins peur... démystifier...

Bon, c'est surtout parce que je suis plus "physicien", et que j'aime bien me faire une idée de ce qui se passe... Même si parfois ça devient pas évident, je te le concède!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah bon, possible.
Moi je suis matheux donc au plus c'est théorique au mieux c'est

Il faut un peu des deux j'imagine (savoir se représenter physiquement des parties d'espaces vectoriels comme R² ou R³ et savoir s'en passer pour des e.v. "plus théoriques" tels que R^10 ou les espaces de fonctions ...)

[herman]

Planck a répondu ce que j'allais répondre sur la représentation spatiale ^^.

Sinon là ou se situe surtout mon problème c'est sur les "vect". C'est une notion complexe je trouve et quand il faut combiner les Ker, Im, vect et bases c'est difficile :/.

Merci pour tes premières explications Planck .

[herman]

Oui je confirme, j'aimerai beaucoup combiner mon coté matheux avec mon coté physicien, d'après mes profs c'est parfait si on peut avoir les deux.

[Bleyblue]

Pour les "vect" comme tu dis, si A est une partie de V vect<A> c'est "simplement" le plus petit sous-vectoriel de V contenant A et un théorème te dit que si A est non nul alors :

v appartient à A <=> v est combili de vecteurs de A

[invitec053041c]

Sinon là ou se situe surtout mon problème c'est sur les "vect". C'est une notion complexe je trouve et quand il faut combiner les Ker, Im, vect et bases c'est difficile :/.

Oui manipuler ces bêtes là, c'est déconcertant au début, mais ça devient vite une gymnastique .

[invite21126052]

oooh j'ai beau être plus physique, j'aime beaucoup les maths théoriques aussi hein! faut pas croire!

mais bon, typiquement, Vect A, bien que ta définition soit parfaitement exact, je pense qu'il est aussi intéressant de voir ça comme:

on prend tous les vecteurs de A, on les additionne de toutes les manières possibles, et on met tous les résultats dans un paquet, qui sera un espace vectoriel: Vect A. C'est l'ev engendré par les éléments de A, ça porte bien son nom.
clairement, si A est DEJA un ev, alors Vect A = A. C'est utile uniquement quand tu n'as pas d'ev... Par exemple, si B est une base de E un ev, alors on a:
E = Vect B

Rq: c'est aussi l'intersection de touuuuus les ev contenant A... mais comme dit, c'est pas forcément très visuel (je trouve)

[erff]

Ne t'en fais pas pour l'algèbre linéaire, c'est vrai qu'au début ça fait mal car on voit plein de nouvelles notions en peu de temps et c'est cela qui est déconcertant.
Tu verras qu'on arrive assez vite à maîtriser les concepts (moi j'ai fini par tout comprendre le programme de sup durant les grandes vacances entre sup et spé) à condition de bosser bien sûr.
Sinon je te conseille dans un premier temps d'éviter les représentations visuelles car elles induisent fortement en erreur et amènent souvent à argumenter les démonstrations avec des "on voit bien que..." (et je sais de quoi je parle car moi aussi je suis plutôt physicien que matheux) ce dont les profs de maths ont horreur. Cependant elles peuvent aider à forger l'intuition et j'avoue que je m'en sers assez souvent pour résoudre des exos (en fait ça me permet juste de trouver un point de départ ou d'apréhender à l'avance les réponses dans les questions ouvertes), il est néanmoins important de développer ce que j'appellerais "l'intuition mathématique" qui consiste à très bien cerner un problème (pas un pb complètement hors du programme bein entendu) et à avoir le "flair" pour bien voir les choses qui ont des chances d'être pertinentes. Ceci s'aiguise en faisant des exos et des exos à mon avis...

Voilà, en tous cas bon courage à toi et essaie de faire beaucoup d'exos faciles qui n'utilisent que des notions proches du cours dans un 1er temps.

[Bleyblue]

Pour ma part je suis étudiant en math et la physique j'ai horreur de ça

Au plus c'est théorique au mieux c'est, si par après je vois à quoi cela peut servire en pratique tant mieux, sinon je n'en serai pas moins content d'avoir appris le concept en question.
Alors quand certains me sortent qu'il faut faire des math pour faire de la physique ou pour faire telle ou telle science, moi ça me fait bien rire

Enfin, c'est une petite parenthèse

[herman]

Si si tu as deux approches distinctes quand même, c'est une généralité je pense.

Le coté physique te permet d'imaginer le problème et d'approximer la solution. (voire de la trouver)
Le coté matheux te permet de le démontrer rigoureusement.