Crise des fondements personnelle

[taladris]

Salut!

Mon prof d'algèbre (un type passionné et passionnant ) nous a parlé cette année de la théorie des ensembles. Le problème, c'est qu'il nous a fait une version "light" de la théorie et il y a certains points sur lesquels je bute:

1) Faut-il un axiome pour l'existence de l'ensemble vide?
2) On définit le couple (a,b) par (a,b)={ {a},{a,b} } puis (a,b,c) par (a,b,c)=(a,(b,c)). Le souci c'est que l'on a pas la rélation habituelle (a,(b,c))=((a,b),c) avec cette définition...

Merci d'éclairer mes lanternes.
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[invite4ef352d8]

Salut

1) euh oui... mais la je connait pas grand choses sur la question en fait...


2) pourquoi voudrait tu avoir une telle relation !! elle n'a rien "d'habituel"... ou alors tu donne à cette écriture un autre sens ?

[invitec053041c]

2) On définit le couple (a,b) par (a,b)={ {a},{a,b} } puis (a,b,c) par (a,b,c)=(a,(b,c)). Le souci c'est que l'on a pas la rélation habituelle (a,(b,c))=((a,b),c) avec cette définition...

C'est juste, car fondamentalement on a l'habitude de les identtifier, mais le premier est un élément de et le second de .
C'est un peu comme lorsque pour les complexes, on associe (x,0) au réel x, même si fondamentalement c'est pas exactement la même chose.

[invite35452583]

Salut,
pour le 1) on définit la partie vide d'une ensemble E ainsi :
cela définit bien un ensemble.
Propriété ne dépend pas de E.
Soit E et F deux ensembles, on montre (tout simplement par une évidente double inclusion) que , on montre de même que d'où
Cet unique ensemble est appelé ensemble vide et noté
Donc il n'y a pas d'axiome particulier pour définir l'ensemble vide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

1) Faut-il un axiome pour l'existence de l'ensemble vide?

Oui, et Non.
Une théorie est définie par une liste d'axiomes, mais cette liste n'est généralement pas unique, donc pour te répondre il faudrait connaître avec précision la liste des axiomes utilisés, et là il serait possible de te répondre avec précision si l'axiome d'existence de l'ensemble vide est nécessaire ou non. D'où ma première réponse : Oui parce que dans certaines listes il est obligatoire, Non, parce que dans d'autres listes il ne l'est pas.
Pour lever un peu le voile, si la liste d'axiomes contient le schéma d'axiomes de séparation (et je ne connais pas de liste ne le contenant pas), et un axiome affirmant l'existence d'au moins un ensemble, alors l'axiome sur l'existence de l'ensemble vide est inutile (il suffit d'appliquer la séparation sur un ensemble quelconque (et on sait qu'il y en a au moins un) avec la formule

PS : je ne suis donc pas tout à fait d'accord avec homotopie

[Gwyddon]

Je suis d'accord avec Mediat, et avec homotopie qui me semble avoir utilisé implicitement et l'axiome de séparation, et l'axiome d'existence d'un ensemble

[Médiat]

homotopie qui me semble avoir utilisé implicitement et l'axiome de séparation, et l'axiome d'existence d'un ensemble

Axiome d'existence d'un ensemble qui n'est pas obligatoire, par exemple si on le remplace par l'axiome d'existence de l'ensemble vide .

Ce qui est sur c'est qu'il y a toujours un ensemble vide soit parce que c'est un axiome, soit parce que c'est une conséquence d'autres axiomes.

[invite35452583]

si la liste d'axiomes contient le schéma d'axiomes de séparation (et je ne connais pas de liste ne le contenant pas), et un axiome affirmant l'existence d'au moins un ensemble, alors l'axiome sur l'existence de l'ensemble vide est inutile

Faire une théorie des ensembles sans existence d'ensemble est une théorie inutile, de même une théorie ne comprenant pas l'axiome de séparation ne va pas bien loin. Donc je reformulerais une partie de ta remarque ainsi : "Dans une théorie des ensembles un tantinet sérieuse, l'existence de l'ensemble vide ne fait pas l'objet d'un axiome".

(il suffit d'appliquer la séparation sur un ensemble quelconque (et on sait qu'il y en a au moins un) avec la formule

Là en effet je me suis trompé ce n'est pas mais qui est utilisé.

Sinon :

Axiome d'existence d'un ensemble qui n'est pas obligatoire, par exemple si on le remplace par l'axiome d'existence de l'ensemble vide .

Juste par curiosité comme on définit l'ensemble vide par un axiome si on n'a encore aucun ensemble ?

[Médiat]

"Dans une théorie des ensembles un tantinet sérieuse, l'existence de l'ensemble vide ne fait pas l'objet d'un axiome".

Condescendance inutile et mal venue, puisque justement on peut remplacer l'axiome d'existence d'un ensemble par l'axiome d'existence de l'ensemble vide, et cette théorie est plus qu'un "tantinet sérieuse", puisque c'est la même, je crois qu'historiquement Z et F utilisaient l'axiome de l'ensemble vide, mais peut-être considérez-vous que ce ne sont pas des mathématiciens sérieux.

Juste par curiosité comme on définit l'ensemble vide par un axiome si on n'a encore aucun ensemble ?

Voilà une question bien étonnante pour quelqu'un "d'un tantinet sérieux", c'est pourtant extrêmement simple :

[Gwyddon]

Euh... Je ne vois aucune agressivité dans le post d'homotopie, pourquoi l'être ? Relax

[Médiat]

Euh... Je ne vois aucune agressivité dans le post d'homotopie, pourquoi l'être ? Relax

Je n'ai pas parlé d'agressivité, mais de condescendance, puisque clairement je suis considéré comme n'étant pas "un tantinet sérieux" (puisque je cite une théorie qui ne le serait pas), il me semble que ce genre de remarque n'a rien à faire dans un débat scientifique.