Fondements des maths

[Sephi]

Bonjour,

Des questions qui peuvent devenir subtiles et pour lesquelles je n'ai pas de pistes rigoureuses est la suivante :

Les mathématiques se réduisent-elles à la logique ?
Je pense que non, mais n'ayant pas vraiment réfléchi à la question, je suis en recherche d'arguments ou de contre-arguments. Mais bon il me semble, par exemple, que la logique seule ne fournit pas une définition des nombres...

Les résultats mathématiques dépendent-ils du type de logique utilisé, indépendamment de la possibilité de les démontrer avec cette logique ?
Ou de façon imagée : existe-t-il une logique avec laquelle 3 serait un nombre pair (ou tout autre résultat classiquement faux) ? Ou bien 3 est-il toujours impair (quid de "toujours" ?), bien que la façon de le montrer dépende de la logique ?

Quels sont les fondements actuels, c.-à-d. les théories les plus "primitives", derrière les grandes branches des maths : algèbre, analyse, géométrie, topologie, logique ... ?
(Du genre axiomes de Peano comme fondement de l'algèbre ?, ...)



Et enfin la question subsidiaire :

La logique a-t-elle finalement un statut, une nature distincte des autres maths ?
Si les maths étudient usuellement des "objets" mathématiques, quels sont les "objets" de la logique ? Sont-ils dans le même sac que les objets des autres maths, comme les nombres, les fonctions, les figures géométriques ... ?
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[Médiat]

Les mathématiques se réduisent-elles à la logique ?

Clairement non, la logique permet de créer un cadre dans lequel on peut faire des maths, mais, par exemple, la logique la mieux étudiée par les logiciens est la logique classique du premier ordre, mais celle-ci ne permet pas de décrire toutes les mathématiques, certaines propriétés ne sont tout simplement pas du premier ordre.

Les résultats mathématiques dépendent-ils du type de logique utilisé ?

Dans la mesure où certaines logiques n'utilisent pas les mêmes objets primitifs (logiques modales), les mêmes valeurs de vérités (logiques multivaluées), ou les mêmes postulats (pas de tiers exclu en logique intuitionniste, nécessité de "construire")...

Quels sont les fondements actuels, c.-à-d. les théories les plus "primitives", derrière les grandes branches des maths : algèbre, analyse, géométrie, topologie, logique ... ?

Sans trop m'avancer, je crois que l'ensemble des logiciens répondrait la théorie des ensembles de Zermlo-Fraenkel (ZF pour les intimes).

La logique a-t-elle finalement un statut, une nature distincte des autres maths ?

Oui, aux Etats-Unis elles est rattachée à la philosophie et non aux mathématiques.

[G13]

A mon avis, on ne peut se passer des entiers naturels intuitifs. En effet, toute proposition, toute demonstration est une suite de symboles, donc qui dit suite dit entier naturel.
Une possibilite serait qu'il n'y ait qu'un nombre fini d'entiers mais je ne sais pas si ca serait tres fecond pour demontrer des theoremes.

[G13]

Je ne m'y connais pas trop en logique mais, il me semble que certaines mathematiques echappent à la logique comme les "categories". En effet, il y a la categorie des ensembles mais, il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles. Mais peut-etre les categories ont-elles ete formalisees en logique ?

[A voir en vidéo sur Futura]