Matrice et forme quadratique

[invite4151b002]

Bonjour , j'ai des exos de maths sur lesquels je seche un peu, peut-être que quelqu'un pourrait m'expliquer car je ne comprends pas

Dans mon exercice il faut trouver la matrice B de la forme bilinéaire associée a q. et q(x) = -x₁² -x₂² -x₃² +2x₁x₂ + 2x₂x₃ + 2x₁x₃

Et malheureusement c'est la 1ere question (ensuite il faut calculer le polynome caractéristique, ca je sais faire ).

Donc si quelqu'un pouvait m'aiguiller. Merci d'avance
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[invitedf667161]

Salut. Comment t'aider sans te donner directement la réponse ?

Sais-tu que la matrice, disons B, d'une forme bilinéaire doit vérifier:

q(x) = transposé(x) . B . x

?

[invite4151b002]

GuYem> merci pour ta réponse

Malheureusement j'ai beau regardé dans mon cours je ne vois pas de:

q(x) = transposé(x) . B . x

J'vais surement paraitre bête mais je ne vois pas ce que tu entends là par "transposé(x)", je vois ce qu'est la transposé d'une matrice mais là j'vois pas comment ca marche dans cette équation

[invite52c52005]

x est un vecteur, ce qui est équivalent à une matrice colonne (n lignes, 1 colonne).
Alors transposée(x) est le vecteur x écrit en ligne ( ~matrice 1 ligne, n colonnes) donc les composantes sont les mêmes que celles de x.
C'est avec cette écriture que tu peux multiplier à ta matrice et retrouver les produits des différentes composantes que tu as dans q(x).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

un petit exercice qui devrait te faire comprendre le principe: développer l'expression



Cordialement.

[invite4151b002]

nissart7831 et martini_bird merci pour vos réponses


Au final je trouve la matrice suivante:


-1 1 1
1 -1 1
1 1 -1


Ca me parait un peu bizarre , pour arriver a ce résultat j'ai développé l'expression de martini_bird et ensuite j'ai rassemblé les différents x, puis j'ai comparé avec q(x). (exemple: pour les x₁x₂ j'ai trouvé a₁₂ et a₂₁ donc a₁₂+a₂₁= 2 car dans q(x) il y a "2" devant x₁x₂ donc j'ai mis a₁₂=a₂₁=1).
Suis je sur la bonne voie?
Merci pour votre aide

[invitedf667161]

nissart7831 et martini_bird merci pour vos réponses


Au final je trouve la matrice suivante:


-1 1 1
1 -1 1
1 1 -1


Ca me parait un peu bizarre , pour arriver a ce résultat j'ai développé l'expression de martini_bird et ensuite j'ai rassemblé les différents x, puis j'ai comparé avec q(x). (exemple: pour les x₁x₂ j'ai trouvé a₁₂ et a₂₁ donc a₁₂+a₂₁= 2 car dans q(x) il y a "2" devant x₁x₂ donc j'ai mis a₁₂=a₂₁=1).
Suis je sur la bonne voie?
Merci pour votre aide

Eh bien tu as tout compris monsieur

[invite4151b002]

Merci beaucoup à vous tous

[invite4151b002]

... J'ai encore besoin d'aide Suite a cette question il faut calculer le polynôme caractéristique, ca je pense avoir réussi je trouve: (L=lambda)
(2 + L)(L² + L - 2)

(mais je me suis peut-être trompé, j'ai fais en simplifiant la matrice, ligne2+ligne3->ligne2 puis colonne2+colonne3->colonne2, ca me fait apparaitre deux 0).

La question suivante est "en déduire la signature de q". D'habitude pour déterminer la signature de q j'ai un q(x) transformé dans lequel je compte le nombre de + et le nombre de - , dois je développer mon polynôme caractéristique et faire de même? quel est le lien?

Merci d'avance .

[invitedf667161]

Re' !

Connais tu le lien entre (le signe) des valeurs propres et la signature ?

[invite4151b002]

Re' !

Connais tu le lien entre (le signe) des valeurs propres et la signature ?

J'ai regardé dans mon cours et je ne vois rien là dessus, ici je trouve comme valeur propre -2;1;-2 la signature de q serait elle (1;2)?

[invitedf667161]

Oui. Apr&#232;s diagonalisation les valeurs propres apparaissent sur la diagonale et alors il est alors clair que la signature est (nombre de vp >0, nb de vp < 0)

[invite4151b002]

Ok, merci pour l'explication

[invite4151b002]

Puis je me permettre de demander encore un peu d'aide?
toujours dans le même exercice, a la derniere question je dois trouver une base orthogonale a la fois pour q et pour < , > ( produit scalaire définie par < x , y > = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃)

Quelqu'un aurait il une piste? mon cours ne m'aide pas beaucoup, aucun exemple n'est donné sur l'orthogonalité entre un produit scalaire et q

[invitedf667161]

Re re salut.

Tu es en train de montrer un truc fondamental : une matric sym&#233;trique d&#233;finie positive (celle de q) est diagonalisable dans une base orthonorm&#233;e.
Enfin l&#224; tu le fais en dimension 3 mais &#231;a marche en dimension finie quelconque.
Je serais toi je retiendrais bien ce r&#233;sultat.


Par contre pour ta question c'est un peu plus dur de t'aider. Un indice cepdendant : si tu es &#224; la derni&#232;re questionb de ton probl&#232;me alors c'est le moment de te servir de toutes les autres !

[invite4151b002]

Re re salut.

Tu es en train de montrer un truc fondamental : une matric symétrique définie positive (celle de q) est diagonalisable dans une base orthonormée.
Enfin là tu le fais en dimension 3 mais ça marche en dimension finie quelconque.
Je serais toi je retiendrais bien ce résultat.


Par contre pour ta question c'est un peu plus dur de t'aider. Un indice cepdendant : si tu es à la dernière questionb de ton problème alors c'est le moment de te servir de toutes les autres !

Ouhla, d'abord merci pour ta réponse, mais je me perds un peu, "une matrice symétrique définie positive", alors, symétrique je vois en la regardant, mais positive ya des -, non?

Sinon, "diagonalisable dans une base orthonormée", diagonalisable je vois, "une base orthonormée" là je me perds un peu, enfin, je vois vaguement, norme = 1 ou quelque chose comme cela mais sans plus.(je vais regarder si on a abordé le terme en cours ^^)

Pourrais tu s'il te plait éclaircir ces points?