deuxieme forme quadratique fondamentale

[invite5c6c2cbf]

Salut,

Voila, je voudrais savoir comment calculer les directions asymptotiques et principales de le deuxieme forme quadratique fondamentale si on dispose de sa matrice 2*2 ?

Merci pour votre aide
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[invite3e5ede0a]

Salut,

Voila, je voudrais savoir comment calculer les directions asymptotiques et principales de le deuxieme forme quadratique fondamentale si on dispose de sa matrice 2*2 ?

Merci pour votre aide

pour les directions asymptotiques, je ne sais pas ce que c'est...

Mais les directions principales à mon avis, ce sont les valeurs propres, non ? En tout cas, c'est le cas avec une matrice de courbure : les valeurs propres sont les rayons de courbures principaux. En fait ça revient à faire une rotation du repère. La matrice de rotation correspond alors aux vecteurs propres.

[invite5c6c2cbf]

merci hash pour ta reponse.

Le probleme est que pour le calcul des directions principales, on ne procede pas comme en algebre pour calculer les vecteurs propres (noyau...) mais c'est justement ce que je cherche à savoir.

Sinon personne ne sait comment calculer les directions asymptotiques (ou isotropes aussi je crois)?

Merci

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Normalement la deuxième forme quadratique est une matrice symétrique, n'est ce pas ?
Du coup, elle est diagonalisable en base orthonormale. Ses vecteurs propres donnent les directions principales, et les valeurs propres sont les courbures (je crois me souvenir que la courbure principale est la moyenne géométrique des deux, ou quelque chose comme ça, j'avoue avoir oublié les termes précis et que tout ça est un peu confus pour moi.)
Pour les directions asymptotiques, je ne sais pas ce que c'est, mais par contre les directions isotropes, je pense que ça doit être celles données par les directions isotropes de la matrice de la deuxième forme quadratique fondamentale A, qui sont en générals définies par
transposée(v) A v = 0
Ici, v est un vecteur sur l'espace tangent de ta suface, et A est une matrice symétrique 2*2, donc ça doit se faire. Pour plus de références sur les formes bilinéaires symétriques non forcément définies, tu peux peut-être aller faire un tour dans le Perrin de Cours d'Algèbre (Chap7 je crois, mais ce qu'il y a avant ne sert pas du tout, donc n'ai pas peur).

Bon courage,
__
rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite50470c28]

Salut,

Normalement la deuxième forme quadratique est une matrice symétrique, n'est ce pas ?
Du coup, elle est diagonalisable en base orthonormale. Ses vecteurs propres donnent les directions principales, et les valeurs propres sont les courbures (je crois me souvenir que la courbure principale est la moyenne géométrique des deux, ou quelque chose comme ça, j'avoue avoir oublié les termes précis et que tout ça est un peu confus pour moi.)
Pour les directions asymptotiques, je ne sais pas ce que c'est, mais par contre les directions isotropes, je pense que ça doit être celles données par les directions isotropes de la matrice de la deuxième forme quadratique fondamentale A, qui sont en générals définies par
transposée(v) A v = 0
Ici, v est un vecteur sur l'espace tangent de ta suface, et A est une matrice symétrique 2*2, donc ça doit se faire. Pour plus de références sur les formes bilinéaires symétriques non forcément définies, tu peux peut-être aller faire un tour dans le Perrin de Cours d'Algèbre (Chap7 je crois, mais ce qu'il y a avant ne sert pas du tout, donc n'ai pas peur).

Bon courage,
__
rvz

Bonjour
je crois que les directions asymptotiques les vecteurs non nuls de l'espace tangent pour lesquels on a la seconde forme fondamentale nulle.ou alors il faut avoir la courbure de Gauss négative ou nulle en ces points de la surface.
Merci