Projection d'un point sur un plan, appartenant à un triangle

[Sethy]

Bonjour à tous,

Voilà mon soucis est de déterminer si la projection d'un point sur un plan formé par 3 points non colinéaires, est bien contenue dans ce même triangle.

Je précise qu'il ne s'agit pas d'un problème scolaire mais bien d'un souci de programmation.

Voici les étapes que j'ai suivi :

1) équation du plan :

2) Distance d'un point P à ce plan :

3) Projection du point P sur le plan ABC

4) Détermination si ce point est dans le triangle

Encore à implémenter via une des méthodes (probablement la méthode barycentrique).

Ma question : n'y a-t-il rien de plus simple ?

Merci

Sethy
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[silk78]

Bonjour,

J'ai bien une idée de méthode un peu différente, mais je dois avouer que je n'ai pas du tout les connaissances en programmation nécessaires pour savoir si elle est rapide, mais je vous laisserais juger de cela.

Voilà, ce que je propose :

1) Calculer , et . Jusque là rien de très long.

2) Pour P quelconque : calculer est l'écrire sous la forme
C'est cette étape qui peut-être demande un peu de calcul, je la détaillerais un peu plus tard.

3) On note H la projection de P : on a . H est alors dans le triangle ABC si et seulement si et (ça ça se voit assez facilement avec un dessin)

L'étape 1) est super rapide, l'étape 3) est une simple comparaison de réels : ces deux là sont donc algorithmiquement assez rapide je pense.

L'étape 2) est la plus longue. Il y a plusieurs moyens qui reviennent tous à résoudre un système linéaire de trois équations à trois inconnues.
En fait je pense que si vous devez faire ce test pour beaucoup de point P sans changer le triangle ABC, cette méthode peut-être assez efficace car les coefficients du système linéaire ne changeront pas et que donc une inversion de matrice donne la formule générale des lambda, mu et nu. Je m'explique :

On cherche à trouver tels que

Donc en notant , notre équation vectorielle devient : et donc .

En calculant M^-1, on peut donc trouver lambda, mu et nu quelque soit les coordonnées de P, juste en effectuant un calcul matriciel. D'ailleurs, la donnée de lambda et de mu suffisent pour le programme.

Je vous laisse réfléchir à ça. N'hésitez pas si vous voulez des détails sur la méthode (précisions mathématiques j'entends, j'ai peur de ne pas être très utile en algorithmie).
Silk

[Sethy]

L'application requiert quelques 10aines de calcul par action de l'utilisateur, donc la méthode ne doit pas être super optimisée.

Ca me plait bien comme approche.

Je teste ça .

Encore merci

Sethy

[Garf]

H est alors dans le triangle ABC si et seulement si et (ça ça se voit assez facilement avec un dessin)

En fait, ce qu'on voit facilement sur un dessin, c'est que H est dans le triangle ABC si et seulement si , et , et .

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Oh oui effectivement, ce que je proposais caractérisait un parallélogramme. Merci beaucoup Garf de reprendre les bétises que je dis

[Sethy]

Je crois qu'on annonce : "réponse collective ....".

J'ai essayé de généraliser au cas du point dans le tétraèdre.

Soit A,B,C,D les 4 sommets du tétraèdre. On en déduit 3 vecteurs "directeurs" :



On propose le vecteur comme un combili :



P appartient à ABCD ssi :



Sauf que ... ça ne semble pas me donner les résultats escompté.

Quelqu'un a une idée ?

Sethy