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diagonalisation d´une forme quadratique



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    diagonalisation d´une forme quadratique


    ------

    Bonjour, j´ai un problème qui me rend perplexe:

    On me demande dans un exo de diagonaliser une forme quadratique par deux méthodes:

    - en décomposant q en somme de carrés

    - en diagonalisant la matrice de q.

    La première méthode est classique et ne me pose pas de problème, mais la deuxième... Je ne connais que les diagonalisations d´endomorphismes, où on cherche ker(f-t.Id), mais évidement elle ne peut s´appliquer. Alors comment faire?

    merci d´avance

    Christophe

    -----

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  4. #2
    invite43219988

    Re : diagonalisation d´une forme quadratique

    Ta forme quadratique peut s'écrire sous forme matricielle.
    Par exemple : ax²+bxy+cy² donne la matrice :



    On trouve les coefficients de la matrice sans problème.
    En fait, dessine ta matrice et a gauche, en face de la première ligne tu écris x, puis en face de la deuxieme ligne y et ainsi de suite jusqu'à la dernière variable.
    Puis, au dessus de ta matrice, en face de la première colonne tu écris x, puis en face de la deuxieme y et ainsi de suite jusqu'à la dernière variable.
    Tu vois bien que la case "première ligne première colonne" est le coeff d'un terme en x² (x*x), les cases "première ligne deuxieme colonne et deuxieme ligne première colonne" sont les coeffs d'un terme en xy et yx (le meme donc) et la case "deuxieme ligne deuxieme colonne" est le coeff du terme en y² (y*y).


    Ensuite tu diagonalises ta matrice etc, c'est exactement comme d'habitude !

  5. #3
    Coincoin

    Re : diagonalisation d´une forme quadratique

    Salut,
    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Ta forme quadratique peut s'écrire sous forme matricielle.
    Par exemple : ax²+bxy+cy² donne la matrice :

    Y a pas une histoire de facteur 2 ? C'est pas plutôt ax²+2bxy+cy² qui donne cette matrice ?
    Encore une victoire de Canard !

  6. #4
    invite43219988

    Re : diagonalisation d´une forme quadratique

    Non non je viens de vérifier avec x²+2xy+y² et c'est bien deux et non un qu'il faut mettre dans la matrice.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    invite43219988

    Re : diagonalisation d´une forme quadratique

    En fait tu as raison ! Mea culpa

  9. #6
    invite43219988

    Re : diagonalisation d´une forme quadratique

    En fait non je crois que j'ai raison...
    Je sais plus j'ai oublié !

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  11. #7
    invite43219988

    Re : diagonalisation d´une forme quadratique

    Argh c'est la dérive !!!!
    C'est toi qui a raison finalement !

  12. #8
    Coincoin

    Re : diagonalisation d´une forme quadratique

    Pour moi, quand on a 2xy, il faut penser qu'en réalité c'est xy+yx, donc ça donne 1 sur chaque terme extra-diagonal.
    Mais je ne suis pas totalement sûr, donc j'attends que la nuit t'ait porté conseil
    Encore une victoire de Canard !

  13. #9
    christophe_de_Berlin

    Re : diagonalisation d´une forme quadratique

    Oui, moi j´en suis sûr, ya une erreur de facteu 2: Tu dois diviser les facteurs des éléments non diagonaux par 2.

    Bon en ce qui concerne ma question, j´ai trouvé un truc dans un bouquin dans lequel il est expliqué que les valeurs propres de ma matrice (dans le sens "classique" des valeurs propres d´un endomorphisme) sont aussi les facteurs de la somme des carrés dans ma diagonalisation et les vecteurs propres représentent les vecteurs colonnes de ma matrice de passage. J´ai essayé hier soir, mais je me suis planté dans les calculs, j´essaie de nouveau et je vous tiens au courant.

    Merci

  14. #10
    invite43219988

    Re : diagonalisation d´une forme quadratique

    Bon tu as raison coincoin !
    Christophe, je vais te faire un exemple tout bête :

    q(x,y)=x²+2xy+y²

    Il est évident que cette forme quadratique s'écrit (x+y)²




    Les valeurs propres sont donc 0 et 2.

    On a avec et

    On a :

    Donc :



    Par conséquent :
    Or :



    CQFD
    Dernière modification par invite43219988 ; 28/05/2007 à 11h31.

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