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Triangulariser une matrice non diagonalisable



  1. #1
    Bleyblue

    Triangulariser une matrice non diagonalisable


    ------

    Bonjour,

    Si j'ai une matrice n x n triangularisable mais non diagonalisable, pourriez-vous me dire comment procéder pour triangulariser cette dernière ? (Par triangulariser je veux dire trouver une base dans laquelle ma matrice sera triangulaire)

    Si je prends par exemple :



    Elle n'a que 0 pour valeur propre et V0 est de dimension 1 donc elle n'est pas diagonalisable, mais comme l'équation caractéristique est x³ = 0 je sais qu'elle est trangularisable, mais de la à savoir comment triangulariser

    merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    erff

    Re : Triangulariser une matrice non diagonalisable

    soit u l'endo associé à M et e1,e2,e3 les vecteurs de la base dans laquelle est exprimée la matrice M.
    on voit que :
    u(e3)=0
    u(e1-e2)=2e3
    u(e1+e2)=2(e1-e2)
    donc en écrivant M dans la base :
    (e3,e1-e2,e1+e2) on constate qu'elle est triangulaire
    c.q.f.d.

  4. #3
    ashrak

    Re : Triangulariser une matrice non diagonalisable

    En dimension 3 , tu peut toujours trigonaliser (si elle est trigonalisable) ta matrice de cette manière



    avec
    C'est ce que erff a montré.

    En revanche en dimension supérieure tu n'a plus de forme générale pour ta matrice , c'est au cas par cas. On determine les sous-espaces propres de A en resolvant pour
    On obtient ainsi p vecteurs colonnes propres lineairement independants On complète en une base

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Triangulariser une matrice non diagonalisable

    Ok je vois mieux ... je vais essayer quelques exercices

    merci

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    rvz

    Re : Triangulariser une matrice non diagonalisable

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Ok je vois mieux ... je vais essayer quelques exercices

    merci
    Salut,

    Je crois qu'ashrak est allé un peu vite en tapant son message. Il faisait référence à la décomposition de Jordan (cf par exemple Wiki pour avoir la forme générale) qui donne pour une matrice A 3*3 plusieurs possibilités:
    1/ Toutes les vp sont distinctes => A diagonalisable.
    2/ Il y a deux vp distinctes a et b, a de multiplicité 1 et b de multiplicité 2:
    2.1/ Si l'espace propre associé à b est de dimension 2, alors A est diagonalisable.
    2.2/ Sinon, c'est ce que t'a donné Ashrak.
    3/ Il n'y a qu'une seule valeur propre triple a. Plusieurs cas encore selon la dimension m de l'espace propre associé:
    3.1/ m = 3 => Ta matrice A = a Id est diagonale (indépendant de la base)
    3.2/ m=2 => A peut s'écrire comme le dit Ashrak en remplaçant les lambda par a.
    3.3/ m=1 =>A peut s'écrire dans une bonne base sous la forme


    La preuve de ce théorème n'est pas facile du tout, et requiert au moins un solide niveau L2 pour être comprise, et un niveau maîtrise pour comprendre d'où vient la preuve. Cela dit, l'énoncé n'est pas monstrueusement dur et avec un peu d'entrainement tu verras que beaucoup de sujets d'algèbre niveau L2 L3 tournent autour de ça (notamment pour des concours).
    En attendant, tu peux déjà regarder la déomposition de Dunford, qui est je crois plus simple à démontrer.

    __
    rvz

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Triangulariser une matrice non diagonalisable

    Les concours en Belgique, ya pas

    Mais merci pour le théorème.

    Je me demande si je dois le connaître pour mon examen ... ça m'étonnerait car je n'ai pas souvenir d'avoir entendut le prof parler de ça ... je lui demanderai à l'occasion

    merci :wink

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