une projection quelconque est-elle toujours diagonalisable?

[invite613a4e44]

Une projection quelconque est-elle toujours diagonalisable?
Prenons un cas général. Soit p une projection de E, espace vectoriel de dimension n. Et E1, E2 deux sous-espaces vectoriels de E. p projection sur E1 de direction E2.
Je ne vois pas vraiment d'où partir pour essayer de répondre à la question que je me pose. Je compte sur vous pour me donner ne serait-ce qu'une piste ou même la réponse sans démonstration ce qui me permettrait déjà de savoir comment orienter ma démonstration, éventuellement d'utiliser de l'absurde...
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[invited5b2473a]

la réponse est immédiate: oui

[invite613a4e44]

Comment ça immédiate? Rien n'est jamais immédiat en maths. Propose moi une démo stp.

[invitedef78796]

Salut,

Tu peux facilement connaître un polynôme annulateur d'un projecteur parce qu'il vérifie p²=p. Or un tel polynôme est scindé à racines simples...


Voilà @+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

si c'est imédiat: tu prends une base de E1, une autre de E2. la concaténation te donne une base de E et tu exprimes
la matrice de p dans cette base.