intégrale et récurrence

[inviteeba7fcab]

Bonsoir, je suis en train de faire un dm et je bloque sur une question intermédiaire qui ne m'empèche pas de continuer.
On a A(n)=int (cost)^n dt (de 0 à pi/2)
et il faut que je montre que pour tout n>=2 on a nA(n)=(n-1) A(n-2)
J'ai pensé à la récurrence, à integrer et expliciter An mais je ne pense pas que c'est la bonne solution...

Merci d'avance
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[inviteb85b19ce]

Bonsoir,

Problème analogue traité dans un fil récent...
Utilise une intégration par parties bien choisie pour "transformer" A(n), et tu obtiendras la relation de récurrence recherchée.

[invite4e79ea66]

salut,
il te suffit de poser:
A(n)=
et de faire une double intégration par parties
voilou

[Cyp]

C'est une suite d'intégrales classiques : il s'agit des intégrales de Wallis (tu peux chercher sur internet il doit y avoir pas mal de choses dessus). L'idée pour obtenir la relation de récurrence est de faire une intégration par parties, le tout c'est d'intégrer le bon terme sinon ca ne marchera pas (je te conseille si tu peux, de retenir la méthode car les intégrales de wallis reviennent assez souent en maths, enfin dans celles de prépa en tout cas lol ). Donc :
A(n+2)=int(cos(t)*cos(t)^(n+1) *dt)
=[sint*cos(t)^(n+1)](0,Pi/2)-int(-sin²t*(n+1)*cost^ndt,0,Pi/2)
=0+(n+1)*A(n)-A(n+2)
et tu as ton résulat moyennant une translation en n pour coller avec ton énoncé
le seul truc à retenir ici, c'est ce qu'il faut intégrer par parties sinon tu es coincée lol :d
en général après on te demande d'en déduire un équivalent de A(n) en +oo mais c'est autre chose

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeba7fcab]

merci beaucoup et désoler de n'avoir pas vu le poste précedent, oui en effet les prochaines questions portent sur l'equivalence en l'infini...je trouve sqrt(pi/4n) je crois

[Cyp]

de mémoire on doit trouver qqc comme rac(pi/2n) il me semble mais je peux me tromper...