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optimisation



  1. #1
    ptitecurieuse

    optimisation


    ------

    Bonjour à tous, je suis face à un énorme problème ça fait deux jours que je cherche en utilisant diverses possibilités mais je ne trouve pas pourriez vous m'aider ! j'ai peut-être penser pour la deuxième question à utiliser les angles opposé ou le théorème "coté-angle-coté" , les triangles isométrique...mais je ne vois pas, je n'arive pas a boutir ! svp j'ai besoin de vous !
    optimisation.jpg
    ABCD est un carré ; AB=1. C est un cercle de centre D et de rayon 1. T est un point de l'arc de cercle AC, distinct de A et de C. La tangente au cercle Cen T coupe le segment [AB] en M et le segment [BC] en N.
    On se propose de résoudre le problème suivant :
    POur quelles positions de T la distance MN est-elle minimale ?
    Pour cela, on essaie d'exprimer MN en fonction d'une variable x, par exemple en posant AM=x. Mais le calcul de MN en fonction de x seul parait impossible a priori. On introduit alors une autre variable y ( on pose CN = y ), en espérant que les calculs permettront d'exprimer y en fonction de x.
    1. démontrer que MN²=x²+y²-2x-2y+2
    jusque là ça va j'ai pensé à (1-x)²+(1-y)²= MN²
    ce qui nous fait 1+x²-2x + 1 + y² - 2y= MN²
    soit x²+y²-2x-2y+2 = MN²
    mais après c'est la 2e question que je ne comprend pas est-ce que l'on doit réutiliser la première ???
    2- Prouver que MN= x+y et que MN² = (x+y)²
    je ne comprend pas pourquoi tt d'un coup on n'a plus -2x-2y
    merci d'avance pour votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Jeanpaul

    Re : optimisation

    MA et MT sont 2 tangentes au même cercle issues de M, leurs longueurs sont égales.
    Si tu n'es pas convaincu(e), regarde les triangles AMD et DMT. Applique le théroème de Pythagore.

  4. #3
    ptitecurieuse

    Re : optimisation

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    MA et MT sont 2 tangentes au même cercle issues de M, leurs longueurs sont égales.
    Si tu n'es pas convaincu(e), regarde les triangles AMD et DMT. Applique le théroème de Pythagore.
    en fait je n'arrive pas a voir que MA et MT sont de longueurs égales car x est variable donc je me demande si c'est toujours vrai ? du coup j'ai utiliser pythagore dans AMD et DMT comme tu m'as dit mais je n'arrive qu'à introduir x et non y comment dois-je fair ?
    dans AMD j'obtiens x²+1=MD²
    mais dans DMT MT²+TD²=MD²
    je voulais mettre les deux en relations grace à MD² mais j'ai trop d'inconnues dan sla deuxième équation... ou alors est-ce que tu me demandais totalement autre chose avec ces deux relations ?

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : optimisation

    Et TD, ça vaut combien, à ton avis ?
    Et puis NT = NC = y, non ?

  6. #5
    ptitecurieuse

    Re : optimisation

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    Et TD, ça vaut combien, à ton avis ?
    Et puis NT = NC = y, non ?
    ba a première vue je dirai que TD c'est égal à 1 en tout cas c'est ce qu'on dirait mais je ne sais pas comment le démontrer ! du coup je ne peux pa démontrer que NT=NC= y et MA=MT=x ça doit etre ça qui me bloque tout

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jeanpaul

    Re : optimisation

    Enfin : T est sur le cercle de centre D et de rayon 1, non ? Donc DT = 1...

  9. Publicité
  10. #7
    ptitecurieuse

    Re : optimisation

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    Enfin : T est sur le cercle de centre D et de rayon 1, non ? Donc DT = 1...
    ah oui quand on est fixé sur quelque chose on ne voit meme plus ce qui est évident !
    donc j'obtiens x² = MT²
    et c juste de faire racine de x² = racine de MT²
    soit x = MT
    mais après quand on fait MN² = (x+y)² on sort du segment on se place dans quel triangle alors ?

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : optimisation

    Si MT = x et TN = y alors MN = x+y et MN² = (x+y)²

  12. #9
    ptitecurieuse

    Re : optimisation

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    Si MT = x et TN = y alors MN = x+y et MN² = (x+y)²
    Mais en fait je me demandais si c'était juste de faire ça car ça fesait une identité remarquable sur un segment...

  13. #10
    ptitecurieuse

    Re : optimisation

    OK mais comment je peux en déduire que y=(1-x)/(1+x), puis que MN= (x²+1)/(x+1)

    sachant pour le y =... que 1-x c'est BM je me demandais si 1+x c'était BD avec DT = 1 si c'était possible que BT=x sur le dessin ça a l'air possible mais je pense que c'est un cas particulier car j'ai essayé de vérifier avec pythagore dans BTM mais je ne retombe pas sur MT=BT.
    et ce que je ne comprend pas c'est pourquoi on diviserait deux coté pour en obtenir un autre la seule fois où on divise je crois que c'est pour les cosinus et sinus mais ici on n'en a pas ! donc à quoi cela correspond-til ? svp orientez moi !

  14. #11
    ptitecurieuse

    Re : optimisation

    S'il vous plait aidez moi j'ai encore besoin de vous comment je peux déduire ! c'est cette division de cotés et ce 1+x qui me bloque à quoi cela correspond-t-il ?

  15. #12
    Jeanpaul

    Re : optimisation

    Tu as 2 expressions différentes (un peu compliquées)de MN². Ecris qu'elles sont égales, tu trouveras une relation plus simple (plus de termes en x² et y²).
    Je te la donne : x*y + x + y - 1 = 0
    Ensuite, il faut écrire MN = L = x + y dans l'équation ci-dessus, ce qui fait disparaître y et montre que :
    L = ( 1 + x²) / (1 + x)
    On étudie la variation de L pour x variant de 0 à 1 et on trouve un minimum pour L.
    Voilà; j'ai tout dit.

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  17. #13
    ptitecurieuse

    Re : optimisation

    Merci JeanPaul, j'avais finalement finis par trouver hier dans la nuit mais je n'ai pa pu retourner sur l'ordinateur pour le dire c'était à cause de faute de calcul que je n'aboutissais pas au résultat mais j'y suis finalement arrivé j'ai plus qu'à calculer la variation maintenant !

  18. #14
    Bennihup

    Re : optimisation

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    Tu as 2 expressions différentes (un peu compliquées)de MN². Ecris qu'elles sont égales, tu trouveras une relation plus simple (plus de termes en x² et y²).
    Je te la donne : x*y + x + y - 1 = 0
    Ensuite, il faut écrire MN = L = x + y dans l'équation ci-dessus, ce qui fait disparaître y et montre que :
    L = ( 1 + x²) / (1 + x)
    On étudie la variation de L pour x variant de 0 à 1 et on trouve un minimum pour L.
    Voilà; j'ai tout dit.
    bonjour
    si tu remplaces MN par x + y, ça fait x*y+MN-1=0, donc ça ne fait pas disparaitre y ? je comprends donc pas pour trouver que y=(1-x)/(1+x), puis que MN= (x²+1)/(x+1).

  19. #15
    Bennihup

    Re : optimisation

    s'il vous plaît, aidez moi, je ne comprends toujours pas

  20. #16
    Bennihup

    Re : optimisation


  21. #17
    Bennihup

    Re : optimisation

    ca y'est j'ai trouve pour le y mais pas pour MN, merci de m'expliquer
    salut

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