optimisation

[invite4b0b4f95]

Bonjour à tous, je suis face à un énorme problème ça fait deux jours que je cherche en utilisant diverses possibilités mais je ne trouve pas pourriez vous m'aider ! j'ai peut-être penser pour la deuxième question à utiliser les angles opposé ou le théorème "coté-angle-coté" , les triangles isométrique...mais je ne vois pas, je n'arive pas a boutir ! svp j'ai besoin de vous !

ABCD est un carré ; AB=1. C est un cercle de centre D et de rayon 1. T est un point de l'arc de cercle AC, distinct de A et de C. La tangente au cercle Cen T coupe le segment [AB] en M et le segment [BC] en N.
On se propose de résoudre le problème suivant :
POur quelles positions de T la distance MN est-elle minimale ?
Pour cela, on essaie d'exprimer MN en fonction d'une variable x, par exemple en posant AM=x. Mais le calcul de MN en fonction de x seul parait impossible a priori. On introduit alors une autre variable y ( on pose CN = y ), en espérant que les calculs permettront d'exprimer y en fonction de x.
1. démontrer que MN²=x²+y²-2x-2y+2
jusque là ça va j'ai pensé à (1-x)²+(1-y)²= MN²
ce qui nous fait 1+x²-2x + 1 + y² - 2y= MN²
soit x²+y²-2x-2y+2 = MN²
mais après c'est la 2e question que je ne comprend pas est-ce que l'on doit réutiliser la première ???
2- Prouver que MN= x+y et que MN² = (x+y)²
je ne comprend pas pourquoi tt d'un coup on n'a plus -2x-2y
merci d'avance pour votre aide
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[Jeanpaul]

MA et MT sont 2 tangentes au même cercle issues de M, leurs longueurs sont égales.
Si tu n'es pas convaincu(e), regarde les triangles AMD et DMT. Applique le théroème de Pythagore.

[invite4b0b4f95]

MA et MT sont 2 tangentes au même cercle issues de M, leurs longueurs sont égales.
Si tu n'es pas convaincu(e), regarde les triangles AMD et DMT. Applique le théroème de Pythagore.

en fait je n'arrive pas a voir que MA et MT sont de longueurs égales car x est variable donc je me demande si c'est toujours vrai ? du coup j'ai utiliser pythagore dans AMD et DMT comme tu m'as dit mais je n'arrive qu'à introduir x et non y comment dois-je fair ?
dans AMD j'obtiens x²+1=MD²
mais dans DMT MT²+TD²=MD²
je voulais mettre les deux en relations grace à MD² mais j'ai trop d'inconnues dan sla deuxième équation... ou alors est-ce que tu me demandais totalement autre chose avec ces deux relations ?

[Jeanpaul]

Et TD, ça vaut combien, à ton avis ?
Et puis NT = NC = y, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b0b4f95]

Et TD, ça vaut combien, à ton avis ?
Et puis NT = NC = y, non ?

ba a première vue je dirai que TD c'est égal à 1 en tout cas c'est ce qu'on dirait mais je ne sais pas comment le démontrer ! du coup je ne peux pa démontrer que NT=NC= y et MA=MT=x ça doit etre ça qui me bloque tout

[Jeanpaul]

Enfin : T est sur le cercle de centre D et de rayon 1, non ? Donc DT = 1...

[invite4b0b4f95]

Enfin : T est sur le cercle de centre D et de rayon 1, non ? Donc DT = 1...

ah oui quand on est fixé sur quelque chose on ne voit meme plus ce qui est évident !
donc j'obtiens x² = MT²
et c juste de faire racine de x² = racine de MT²
soit x = MT
mais après quand on fait MN² = (x+y)² on sort du segment on se place dans quel triangle alors ?

[Jeanpaul]

Si MT = x et TN = y alors MN = x+y et MN² = (x+y)²

[invite4b0b4f95]

Si MT = x et TN = y alors MN = x+y et MN² = (x+y)²

Mais en fait je me demandais si c'était juste de faire ça car ça fesait une identité remarquable sur un segment...

[invite4b0b4f95]

OK mais comment je peux en déduire que y=(1-x)/(1+x), puis que MN= (x²+1)/(x+1)

sachant pour le y =... que 1-x c'est BM je me demandais si 1+x c'était BD avec DT = 1 si c'était possible que BT=x sur le dessin ça a l'air possible mais je pense que c'est un cas particulier car j'ai essayé de vérifier avec pythagore dans BTM mais je ne retombe pas sur MT=BT.
et ce que je ne comprend pas c'est pourquoi on diviserait deux coté pour en obtenir un autre la seule fois où on divise je crois que c'est pour les cosinus et sinus mais ici on n'en a pas ! donc à quoi cela correspond-til ? svp orientez moi !

[invite4b0b4f95]

S'il vous plait aidez moi j'ai encore besoin de vous comment je peux déduire ! c'est cette division de cotés et ce 1+x qui me bloque à quoi cela correspond-t-il ?

[Jeanpaul]

Tu as 2 expressions différentes (un peu compliquées)de MN². Ecris qu'elles sont égales, tu trouveras une relation plus simple (plus de termes en x² et y²).
Je te la donne : x*y + x + y - 1 = 0
Ensuite, il faut écrire MN = L = x + y dans l'équation ci-dessus, ce qui fait disparaître y et montre que :
L = ( 1 + x²) / (1 + x)
On étudie la variation de L pour x variant de 0 à 1 et on trouve un minimum pour L.
Voilà; j'ai tout dit.

[invite4b0b4f95]

Merci JeanPaul, j'avais finalement finis par trouver hier dans la nuit mais je n'ai pa pu retourner sur l'ordinateur pour le dire c'était à cause de faute de calcul que je n'aboutissais pas au résultat mais j'y suis finalement arrivé j'ai plus qu'à calculer la variation maintenant !

[invitefd5e9002]

Tu as 2 expressions différentes (un peu compliquées)de MN². Ecris qu'elles sont égales, tu trouveras une relation plus simple (plus de termes en x² et y²).
Je te la donne : x*y + x + y - 1 = 0
Ensuite, il faut écrire MN = L = x + y dans l'équation ci-dessus, ce qui fait disparaître y et montre que :
L = ( 1 + x²) / (1 + x)
On étudie la variation de L pour x variant de 0 à 1 et on trouve un minimum pour L.
Voilà; j'ai tout dit.

bonjour
si tu remplaces MN par x + y, ça fait x*y+MN-1=0, donc ça ne fait pas disparaitre y ? je comprends donc pas pour trouver que y=(1-x)/(1+x), puis que MN= (x²+1)/(x+1).

[invitefd5e9002]

s'il vous plaît, aidez moi, je ne comprends toujours pas

[invitefd5e9002]

[invitefd5e9002]

ca y'est j'ai trouve pour le y mais pas pour MN, merci de m'expliquer
salut