nombre de grassmann

[GrisBleu]

Bonjour.

J'aimerai comprendre ce que sont les nombres de grassmann et la maniere de s'en servir.

Dans le livre (de pshysique, chapitre fermions), c'est defini comme
- deux nombres de grassmann w et u verifient

- soient l un nombre complexe et v un nombre de grassmann


L'auteur passe direcetment au fait (je tire la phrase) que:
"les variables de grassmann etant nilpotente (), une fonction d'une variable de grassmann a un dl trivial f(w)=a+bw"
Ensuite l'auteur defini la derivation a gauche comme ceci (c est rapide)


Finalement, par identification de l'integrale avec l'operation I telle que \partial I = I \partial = 0 et I lineaire, il donne le proprietes de l'integrale

1) si w est un nombre de grassmann et a, b deux complexes, a+bw est quoi ?? ce n'est plus un nombre de grassmann. Ca se generalise au produit des (a+b w)(c+dv)... Je suppose qu'on utilise donc quelque chose comme l'algebre engendree par C et les nombres de grassmann

2) Est ce que les forme multilineaires antisymmetrique muni du produit ^ sont elles des nombres de grassmann ? A priori u ^ w = - w ^ u. Par contre a+bw n'est plus une forme antisymmetrique. De plu si a est nul, f est un endomorphisme des formes de degrees fixes. Il y a plus generale comme fonction. Je ne comprend donc pas pourquoi, si les formes sont des nombres de grassmann, toutes fonctiion d'une variables serait de cette tete

3) si quelqu'un avait des liens, ca m'irait comme reponse

merci et a plus
-----

[invitea29d1598]

salut,

1) si w est un nombre de grassmann et a, b deux complexes, a+bw est quoi ?? ce n'est plus un nombre de grassmann. Ca se generalise au produit des (a+b w)(c+dv)... Je suppose qu'on utilise donc quelque chose comme l'algebre engendree par C et les nombres de grassmann

ça ressemble à ça en effet... regarde le wiki :

http://en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_algebra

2) Est ce que les forme multilineaires antisymmetrique muni du produit ^ sont elles des nombres de grassmann ? A priori u ^ w = - w ^ u. Par contre a+bw n'est plus une forme antisymmetrique.

tu n'es pas loin... (cf le wiki encore)

[invite69d38f86]

1) si w est un nombre de grassmann et a, b deux complexes, a+bw est quoi ?? ce n'est plus un nombre de grassmann. Ca se generalise au produit des (a+b w)(c+dv)... Je suppose qu'on utilise donc quelque chose comme l'algebre engendree par C et les nombres de grassmann

Bonjour,

Ce qui semble le plus important avec l'utilisation des nombres de Grasmann, c'est de voir comment à un certain moment on retombe sur des nombres complexes. Ceux ci apparaissent (uniquement?) lors des intégrations. Voir pour cela les intégrales de Berezin qui vérifient:

[GrisBleu]

Salut

Merci de vos reponses. J'avais deja jete un oeil sur wiki, mais c'est ce a+bw qui me gene... Question, est ce que a et b ont donc des nombres de grassmann aussi ?si oui je comprends un peu mieux.
sauf le I(1)=0, car 1 est l'unite de quel ensemble ????

Si vous aviez des pdf la dessus, ca m'interesserait fort

A bientot

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

Salut

Merci de vos reponses. J'avais deja jete un oeil sur wiki, mais c'est ce a+bw qui me gene... Question, est ce que a et b ont donc des nombres de grassmann aussi ?si oui je comprends un peu mieux.
sauf le I(1)=0, car 1 est l'unite de quel ensemble ????

Si vous aviez des pdf la dessus, ca m'interesserait fort

A bientot

Bonjour,

Quand on prend les polynomes en W les coeff sont complexes et les polynomes s'arretent au 1er degré.
a+bw a et b sont complexes et W grassmannien


Il y a déja eu des réponses sur ce forum par KaribouBlanc:
http://forums.futura-sciences.com/sh...d.php?p=429635

[invitea29d1598]

salut,

c'est ce a+bw qui me gene... Question, est ce que a et b ont donc des nombres de grassmann aussi ?si oui je comprends un peu mieux.

je pensais que tu avais compris comme tu parlais de formes différentielles. Si tu réfléchis au premier terme (k=0) dans la somme tensorielle des , tu vois tout de suite la conclusion : les fonctions "normales" sont des 0-formes. En clair, ton a+bw est la somme d'une 0 et d'une 1-forme. De manière générale, renseigne-toi sur l'algèbre geométrique à la Clifford :
http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra

[GrisBleu]

Bon, je vais detailler l'exemple qui me bloque pour voir ce que je ne comprends pas

1) On prend les 1-formes qui generent une algebre (avec les scalaires, les 1-formes, les 2-formes,... et leurs sommes)
2) si on prend la fonction , comment l'exprimer uniquement avec une constante et w ?

C'est ca qui m'a bloque depuis le debut. Je ne vois pas comment retomber sur mes pattes avec la fonction differentielle.

Merci de votre temps

++

[invite69d38f86]

Bonsoir,

A vu de nez je dirais que l'expression la plus générale se ramène à W = a+bw donc que dW = bdw.
Bon ça reste à mettre en forme (ou à infirmer)

[invitea29d1598]

Bon, je vais detailler l'exemple qui me bloque pour voir ce que je ne comprends pas

hésite pas à détailler les détails car je vois pas trop ce que tu veux dire

1) On prend les 1-formes qui generent une algebre (avec les scalaires, les 1-formes, les 2-formes,... et leurs sommes)

ça, je comprends

2) si on prend la fonction , comment l'exprimer uniquement avec une constante et w ?

là, je vois pas ce que tu veux dire... pourquoi uniquement avec w et une constante ?

En clair, ton a+bw est la somme d'une 0 et d'une 1-forme.

je précise au passage qu'en écrivant ça j'avais supposé que b était réel (ou complexe), ce qui n'est pas nécessaire si l'algèbre est engendrée par plus d'un nombre de Grassmann...

A vu de nez je dirais que l'expression la plus générale se ramène à W = a+bw donc que dW = bdw.

euh... je suis pas très certain de ce que tu veux faire ici... mais il est plus probable que le résultat soit , de manière à garder invariante l'intégrale (j'ai interprété ici W comme un changement de variable vis-à-bis de w, c'est-à-dire "a" comme une constante de Grassmann et "b" comme un scalaire usuel, w étant aussi un Grassmann).

une façon de "comprendre" l'apparition de l'inverse de b est de se rappeler que lorsque l'on définit un difféomorphisme sur l'espace tangent, on lui en associe sur l'espace cotangent un autre décrit par la "matrice inverse" (désolé pour les oreilles des matheux ).

[GrisBleu]

là, je vois pas ce que tu veux dire... pourquoi uniquement avec w et une constante ?

Salut Rincevent

En fait, dans le livre, il est ecrit que comme les nombres de grassmann sont nihilpotents, une fonction defini dessus voit son DL simplifie (pas de termes d'ordre deux). Donc (ou alors j'ai mal compris le bouquin, c'est possible) il conclut:
Tout fonction d'un nombre de grassmann s'ecrit F(w)=a+bw

Mais si je prends la fonction F(w)=dw (d pour differentielle), je ne vois pas comment l'exprimer comme au dessus (le a+bw) avec a et b complexes

Desole si ce n'est pas clair.

Merci et a+

[invitea29d1598]

salut,

Mais si je prends la fonction F(w)=dw (d pour differentielle)

quand un physicien te parle de "fonction", va pas chercher un exemple si compliqué...

je ne vois pas comment l'exprimer comme au dessus (le a+bw) avec a et b complexes

qui t'a dit que a et b étaient juste des complexes ?

Desole si ce n'est pas clair.

maintenant si...

en fait pour avoir une vue claire sur ça, je te conseille d'aller voir des trucs plus généraux et surtout formulés par des mathématiciens... plus général, ça veut dire : replace ça dans le cadre des "super-variétés" (les bêtes utilisées par exemple pour la supergravité). Ca peut sembler une complication mais les notions de base sont simples (si tu connais déjà la géo diff et l'algèbre extérieure) et ça permet de faire des choses un peu plus propres... je te conseille par exemple la lecture de Supermanifolds - Application to Supersymmetry par Cartier, DeWitt-Morette, et al.

en plus condensé tu as aussi :
http://www.math.washington.edu/~ball...otes-super.pdf
http://www.math.washington.edu/~ball...s-supergeo.pdf

[GrisBleu]

Salut

Merci pour ces liens et ton temps
@+

[invite69d38f86]

je te conseille par exemple la lecture de Supermanifolds - Application to Supersymmetry par Cartier, DeWitt-Morette, et al.

Bonjour,

Une question parfaitement anecdodique: Dans le texte anglais on parle du Schrodinger's ansatz. J'ai déjà rencontré ce terme d'ansatz.
Quel est la traduction usuelle en français?

merci.