Recherche de la primitive de tcos(nwt)...

[invitea30a0b89]

je cherche donc la primitive de la fonction f(t)=t.cos(nwt) sur un intervale non borné, faire de meme avec g(t)=t.sin(nwt) et en déduire la primitive de h(t)=t.exp(jnwt)...

quelqu'un pour me sortir de la mouise? merci d'avance


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[invite8241b23e]

Salut !

C'est pas un intégration par parties ?

[invitea30a0b89]

bin j'me disais que vu qu'il fallait repondre une équation et pas un résultat ca l'faisait pas mais j'viens de me lancer dessus finalement et j'vais voir ce que ca donne...

reponse dans quelques minutes...

[invitea30a0b89]

ca donne quelque chose comme ca mais j'arrive pas à me convaincre que c'est la réponse attendue...

1/nwt . ( [t sin(nwt)] + [cos(nwt)] )

les crochers représentent la partie précedant le calcul de la valeur de l'intégrale mais sans borne...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea30a0b89]

bon...étourderie oblige...pour tsin(nwt) la primitive donne:

-1/nw . ( [t cos(nwt)] - 1/nw . [sin(nwt)] )

donc j'vais revoir la premiere...:s

[inviteaf1870ed]

Une autre manière de voir les choses :
On sait (ou on démontre) que la primitive d'une fonction P(t)exp(kt) est de la forme Q(t)exp(kt) où P et Q sont des polynômes de même degré.
Ici P(t)=t et k=nwj
Yapuka....

[invitea30a0b89]

Une autre manière de voir les choses :
On sait (ou on démontre) que la primitive d'une fonction P(t)exp(kt) est de la forme Q(t)exp(kt) où P et Q sont des polynômes de même degré.
Ici P(t)=t et k=nwj
Yapuka....

merci!merci!merci!merci!merci!

tu viens de résoudre en deux lignes plusieur exo bloqué au cause de cette astuce dont je sentais l'existence mais dont je ne pouvais trouver l'essence... =D

en fait ca va mettre utile pour la deuxieme partie de l'exo ou j'dois passer par h(t) pour retrouver les primitives de f(t) et g(t)...merci

[invitea30a0b89]

merci!merci!merci!merci!merci!

tu viens de résoudre en deux lignes plusieur exo bloqué au cause de cette astuce dont je sentais l'existence mais dont je ne pouvais trouver l'essence... =D

en fait ca va mettre utile pour la deuxieme partie de l'exo ou j'dois passer par h(t) pour retrouver les primitives de f(t) et g(t)...merci

je crois que je me suis un peu avancé car un autre des exo sur lequel je bloque consiste à calculer l'intégrale de cos(x).exp(3x) ... donc pas de polynome :s

à moins que...

[invite88ef51f0]

cos(x).exp(3x)

Fais deux IPP de suite et regarde attentivement les deux membres...

[inviteaf1870ed]

Ou alors si I=Int cos(x)exp(3x), pose J=Int sin(x)exp(3x) et regarde d'un oeil attendri I+iJ....

[invitea30a0b89]

ok merci pour tous ces bons conseils

juste une petit précision pour la recherche du polynomes Q(t)...passage obligatoire par les équa. diff. ?

[inviteaf1870ed]

Pas besoin d'équa dif puisque les polynômes ont même degré, on identifie juste les coefficients.

[invitea30a0b89]

Pas besoin d'équa dif puisque les polynômes ont même degré, on identifie juste les coefficients.

donc j'me suis planté quelque part...

c'est reparti!!

[inviteaf1870ed]

Exemple : essayons de calculer la primitive de (at²+bt+c)exp(-t)
Prenons un polynôme Q = At²+Bt+C,
dérivons Q(t)exp(-t) on trouve (-At²-Bt-C+2At+B)exp(-t)
En identifiant les coefficients :
-A=a
2A-B=b
B-C=c
Et donc
A=-a
B=-2a-b
C=-2a-b-c

[invitea30a0b89]

juste parce que je n'suis pas sur de moi:

la primitive de P(t)exp(kt) est de la forme Q(t)exp(kt) avec d°(P)=d°(Q)=1

d'où Q(t)=at+b

on a donc Q'(t)= a.exp(kt) + (at+b).exp(kt)

=a.exp(kt) + at.exp(kt) + b.exp(kt)

=(a+at+b).exp(kt)= t.exp(kt)

donc a=1 et b=-1

la primitive de t.exp(kt) est (t-1).exp(kt) .

en fait aprés l'avoir écrit j'suis deja plus sur de moi

merci Eric

[invitea30a0b89]

euh...sinon je sais toujours pas ce que je fais avec mais deux fonctions tcos(nwt) et tsin(nwt) pour trouver leur primitive...

[inviteaf1870ed]

juste parce que je n'suis pas sur de moi:

la primitive de P(t)exp(kt) est de la forme Q(t)exp(kt) avec d°(P)=d°(Q)=1

d'où Q(t)=at+b

on a donc Q'(t)= a.exp(kt) + (at+b).exp(kt)

Je ne te suis plus là : si Q(t)=at+b, Q'(t)=a
Par contre [Q(t)exp(kt)]'=Q'(t)exp(kt)+kQ(t)exp(kt)
=(a+kat+kb)exp(kt)
=texp(kt)
d'où
a=1/k et b=-1/k²

Pour tsin et tcos regarde mon premier post

[invitea30a0b89]

holala!! j'suis médusé d'etre aussi étourdi...

par contre c'est ce calcul qui est en rapport avec les fonctions tcos(nwt) tsin(nwt)...? j'vois pas le lien...

dsl j'reprend les études aprés une petite interuption et pas mal d'automatismes se sont envolés...

[inviteaf1870ed]

Posons I=Int tcos(nwt) et J= Int tsin(nwt)
I+iJ= Int t[cos(nwt)+isin(nwt)] = texp(inwt)=P(t)exp(kt)
On fait le calcul ci dessus et on trouve une primitive de la forme Q(t)exp(kt)
On sépare les parties réelles et imaginaires, et le tour est joué : I est la partie réelle et J la partie imaginaire.

[invitea30a0b89]

ok merci

[invite88ef51f0]

Personnellement, je pense que le résultat attendu est plutôt une IPP. Éventuellement cette méthode pour la deuxième, mais seulement pour les plus rusés.

[inviteaf1870ed]

Oui l'IPP est rapidissime...

[invitea30a0b89]

bin j'ai tout repris depuis le début et ca se fait bien une fois qu'on a compris le détour qu'on prend et comment on va raterrir ....

aprés pour le coup des IPP par rapport à cos(x)exp(3x) tu pourrais me dire quel élément je fais disparaitre...j'ai pas encore eu le temps de m'y pencher

merci Eric et CoinCoin

[invitea30a0b89]

eric la méthode que tu m'as proposé pour cos(x)exp(3x) est à peu pres la meme que la précédente si je comprends bien...?

[invite88ef51f0]

aprés pour le coup des IPP par rapport à cos(x)exp(3x) tu pourrais me dire quel élément je fais disparaitre...j'ai pas encore eu le temps de m'y pencher

Tu fais comme tu veux. Faut juste voir si tu préfères intégrer des fonctions trigonométriques et dériver des exponentielles ou bien l'inverse. Pour une fois que tu as le choix, libre à toi de faire comme tu veux !

[inviteaf1870ed]

eric la méthode que tu m'as proposé pour cos(x)exp(3x) est à peu pres la meme que la précédente si je comprends bien...?

.....Exactly

[invitea30a0b89]

Coincoin j'vois pas la solution ni dans un sens ni dans l'autre...

[invite88ef51f0]

Et bien, tu vas pouvoir t'entraîner alors !
Comment on fait une IPP ?

[invitea30a0b89]

non mais je l'ai faite (et dans les deux sens) mais j'vois rien en regardant les deux membres à la fin...

j'vois que t'as toujours ton intégrale avec cos(x)exp(3x) avec un coeff plus deux autres termes en cos(x) et sin(x)...

[invite88ef51f0]

Ok, très bien. Donc si on appelle I l'intégrale recherchée, on a quelque chose du genre I=f(x)+aI où f est une certaine fonction connue et a une constante. Que peut-on en conclure sur I ?