Endomorphismes irréductibles

[g_h]

Bonjour,

Depuis hier soir je bute sur un exercice, je ne vois pas par ou le prendre :

E est un -ev de dimension finie, et Q un ensemble irréductibles d'endomorphismes de E (qui ne laissent stables que {0} et E)
Et il faut que je démontre que pour tout endomorphisme u commutant avec tous les éléments de Q, "il existe une valeur propre telle que le sous-espace propre associé vérifie et

Je trouve assez bizarre cet énoncé, mais bon.
Si vous avez un petit indice à me montrer, je suis preneur !

D'autre part, j'aimerais bien comprendre de quoi est fait cet ensemble Q, car je ne vois pas bien...


Merci !
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[Sylvestre]

D'autre part, j'aimerais bien comprendre de quoi est fait cet ensemble Q, car je ne vois pas bien...

Salut,

L'ensemble Q est un ensemble des endomorphismes. C'est de la théorie de la représentation que tu fais là. Essaie de considérer le vecteur propre de u qui a comme valeur propre. Ensuite regarde ses images par tous les endomorphismes de Q et demande toi si quel espace ces images engendre. Ce qui est important c'est que seuls 0 et E sont stables.

[Gwyddon]

En effet comme le dit Sylvestre, tu prend un espace spectral de u, différent de l'ensemble nul. On te demande de montrer que c'est nécessairement E tout entier, et pour cela tu exploite les hypothèses de l'énoncé, ce qui revient à montrer que cet espace spectral est stable par tout les éléments de Q

[invite5e1117d5]

Regarde le comportement des sous-espaces propres de ton endomorphisme u sous l'action des éléments de Q. Ca devrait te permettre de conclure assez rapidement (il te restera un petit argument à trouver concernant les valeurs propres de u).

Sinon, ton ensemble Q est constitué d'endomorphismes non décomposables. Tu ne peux pas trouver deux sous-espaces supplémentaires stables non triviaux, pour couper l'espace en deux. Par exemple, des endomorphismes nilpotents.

De façon plus générale, tu peux voir, que si le polynôme caractéristique d'un endomorphisme de Q possède deux facteurs premiers entre eux, c'est impossible par le lemme des noyaux. Donc, son caractéristique est une puissance d'irréductible. Comme le polynôme minimal est irréductible et divise le caractéristique, le caractéristique n'a d'autre choix d'être une puissance du polynôme minimal.

Pour la réciproque, je ne vois pas d'argument élémentaire. Sinon, en utilisant la théorie des modules et des invariants de similitude... J'ai dû le faire en taupe de manière plus simple. J'essaierai de retrouver.

Edit : Grillé

[A voir en vidéo sur Futura]

[g_h]

Arf, et j'avais la réponse sous le nez, quelle honte
Merci beaucoup en tous cas !

Par contre, je ne comprends pas bien ce que tu as écrit là :

De façon plus générale, tu peux voir, que si le polynôme caractéristique d'un endomorphisme de Q possède deux facteurs premiers entre eux, c'est impossible par le lemme des noyaux. Donc, son caractéristique est une puissance d'irréductible. Comme le polynôme minimal est irréductible et divise le caractéristique, le caractéristique n'a d'autre choix d'être une puissance du polynôme minimal.

Tu pourrais préciser, voire réexpliquer s'il te plaît ?
Merci !

[invite5e1117d5]

Alors des notations en voilà.

Soit le polynôme caractéristique de u. Soit son polynôme minimal.

On se donne une factorisation de en avec et P,Q non constants.

Par le lemme des noyaux, et comme annule u, on peut écrire .

Or ne peut diviser P et Q, car ils sont premiers entre eux. Donc l'un des deux noyaux est non nul, ce qui est impossible pour un endomorphisme irréductible.

Donc les seules factorisations possibles de sont de la forme . Sinon, tu peux extraire un pgcd et refaire apparaître des polynômes premiers entre eux.

De plus, un tel P sera irréductible, par le même procédé. De plus, le divisera car il divise et est irrédutible. Donc .

CQFD

[g_h]

Alors des notations en voilà.

Soit le polynôme caractéristique de u. Soit son polynôme minimal.

On se donne une factorisation de en avec et P,Q non constants.

Par le lemme des noyaux, et comme annule u, on peut écrire .

Or ne peut diviser P et Q, car ils sont premiers entre eux. Donc l'un des deux noyaux est non nul, ce qui est impossible pour un endomorphisme irréductible.

Donc les seules factorisations possibles de sont de la forme . Sinon, tu peux extraire un pgcd et refaire apparaître des polynômes premiers entre eux.

De plus, un tel P sera irréductible, par le même procédé. De plus, le divisera car il divise et est irrédutible. Donc .

CQFD

Ok, je te remercie, tout ceci est très intéressant !