Bonjour, on me donne f un endomorphisme tel que :
f²+id=0
f*of=fof*
On me demande de montrer que c'est un automorphisme orthogonal.
J'ai l'impression d'avoir essayé tout ce qui etait possible pour montrer que :
f(y)|f(x)=x|y
Mais je bloque. Auriez vous une piste ? merci
Bonsoir,
on peut montrer grace à la 1ère relation que f est un iso, donc f*.
Ensuite, utiliser cet iso pour écrire autrement y (=f*(z) pour un certain z par exemple) ce qui permet d'utiliser les formules précédentes.
J'arrive a montrer que ||f(x)||=||z|| mais f n'est pas orthogonale pour autant...
Ba si justement ^^
il se trouve qu'une application qui conserve la norme est un endomorphisme orthogonal !
comme tu sais déja que c'est un endomorphisme, il suffit d'ecrire un jeu de relation de polarisation : en exprimant le produit scalaire en terme de norme, il sera alors a peu pres evident que si f conserve le produit scalaire f conserve la norme. (en fait l'hypothese f est un endomorphisme n'est meme pas néccesaire si je me souvien bien, mais en l'enlevant on complique pas mal la démonstration...)
Attention a mon post : norme de z et pas norme de x, j'ai repris les notations d'homotopie
en fait, c'est tres tres simple :
(f*f)²=(f*)²f²=Id, en utilisant les deux propriété de l'énoncé
donc les seul valeurs propres complexe possible de f*f sont +1 et -1. hors f*f est une matrice symétrique (donc diagonalisable) définit positive, donc seul 1 est valeur propres et donc f*f=Id
f est bien orthogonal.
