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Antisymétries et endomorphismes orthogonnaux.



  1. #1
    Gpadide

    Antisymétries et endomorphismes orthogonnaux.


    ------

    Bonjour, on me donne f un endomorphisme tel que :

    f²+id=0
    f*of=fof*

    On me demande de montrer que c'est un automorphisme orthogonal.
    J'ai l'impression d'avoir essayé tout ce qui etait possible pour montrer que :

    f(y)|f(x)=x|y

    Mais je bloque. Auriez vous une piste ? merci

    -----

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  3. #2
    homotopie

    Re : Antisymétries et endomorphismes orthogonnaux.

    Bonsoir,
    on peut montrer grace à la 1ère relation que f est un iso, donc f*.
    Ensuite, utiliser cet iso pour écrire autrement y (=f*(z) pour un certain z par exemple) ce qui permet d'utiliser les formules précédentes.

  4. #3
    Gpadide

    Re : Antisymétries et endomorphismes orthogonnaux.

    J'arrive a montrer que ||f(x)||=||z|| mais f n'est pas orthogonale pour autant...

  5. #4
    Ksilver

    Re : Antisymétries et endomorphismes orthogonnaux.

    Ba si justement ^^


    il se trouve qu'une application qui conserve la norme est un endomorphisme orthogonal !


    comme tu sais déja que c'est un endomorphisme, il suffit d'ecrire un jeu de relation de polarisation : en exprimant le produit scalaire en terme de norme, il sera alors a peu pres evident que si f conserve le produit scalaire f conserve la norme. (en fait l'hypothese f est un endomorphisme n'est meme pas néccesaire si je me souvien bien, mais en l'enlevant on complique pas mal la démonstration...)

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Gpadide

    Re : Antisymétries et endomorphismes orthogonnaux.

    Attention a mon post : norme de z et pas norme de x, j'ai repris les notations d'homotopie

  8. #6
    Ksilver

    Re : Antisymétries et endomorphismes orthogonnaux.

    en fait, c'est tres tres simple :


    (f*f)²=(f*)²f²=Id, en utilisant les deux propriété de l'énoncé

    donc les seul valeurs propres complexe possible de f*f sont +1 et -1. hors f*f est une matrice symétrique (donc diagonalisable) définit positive, donc seul 1 est valeur propres et donc f*f=Id

    f est bien orthogonal.

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